Matematické Fórum

Flaky · 26. 03. 2017 16:28

Dobrý den,

chtěl bych se zeptat, jak na tento důkaz:

Buď f lichá funkce na $\mathbb{R}$ , pak každá funkce primitivní k f je sudá.

Děkuji

jarrro · 26. 03. 2017 17:15

Ak je funkcia sudá tak aj funkcia čo sa líši o konštantu je sudá, teda ak $f$ má jednu sudú primitívnu tak má všetky primitívne sudé. Nech je $f$ lichá potom
$-f{$-x$}=f{$x$}$
A teda
$F{$x$}=\int{f{$x$}\mathrm{d}x}=\int{$-f{\(-x$}\)\mathrm{d}x}=F{$-x$}$

Flaky · 28. 03. 2017 20:59

Není mi jasná jen ta poslední rovnost, proč není $-F(-x)$

jarrro · 28. 03. 2017 21:36

lebo $$F{\(-x$}\)^{\prime}=F^{\prime}{$-x$}$-x$^{\prime}=-f{$-x$}$

Flaky · 28. 03. 2017 22:01 — Editoval Flaky (28. 03. 2017 22:02)

Super, děkuji, teď to tam již vidím.

Měl bych ještě podobnou otázku a to sice proč, kdyby byla funkce f sudá, platí pouze to, že pokud k ní existuje funkce primitivní, pak existuje právě jedna lichá primitivní funkce.

jarrro · 28. 03. 2017 22:23

lebo lichá funkcia musí mať v nule (ak je tam definovaná) hodnotu 0, lebo len nula splňuje rovnicu
$x=-x$
a zrejme spomedzi funkcií tvaru $F{$x$}+c$ je práve jedna taká, ktorá má v nule nulovú hodnotu.
teda ak existuje primitívna k sudej funkcii tak najviac jedna z primitívnych má šancu byť lichá
ale
$F{$x$}-F{$0$}=\int\limits_{0}^{x}{f{$t$}\mathrm{d}t}=\int\limits_{0}^{x}{f{$-t$}\mathrm{d}t}=\nl =-\int\limits_{0}^{-x}{f{$t$}\mathrm{d}t}=-$F{\(-x$}-F{$0$}\)$

Matematické Fórum

#1 26. 03. 2017 16:28

Primitivní funkce - důkaz

#2 26. 03. 2017 17:15

Re: Primitivní funkce - důkaz

#3 28. 03. 2017 20:59

Re: Primitivní funkce - důkaz

#4 28. 03. 2017 21:36

Re: Primitivní funkce - důkaz

#5 28. 03. 2017 22:01 — Editoval Flaky (28. 03. 2017 22:02)

Re: Primitivní funkce - důkaz

#6 28. 03. 2017 22:23

Re: Primitivní funkce - důkaz

Zápatí