Matematické Fórum

vanok · 04. 04. 2017 08:30 — Editoval vanok (04. 04. 2017 08:32)

Pre $k>0, k\neq 1$ , GMB M, takych, ze $\frac {MB}{MA}=k$ je kruznica, znama ako Apollonius-ova kruznica.
V tomto vlakne to (spolu) dokazeme ukazeme a aj niektore ine vlasnosti.

vanok · 04. 04. 2017 14:25

Prva otazka, co vas iste napadne je : preco sa predpoklada, ze $x \neq 1$ ?
Mozte o tom porozmyslat?
A na co ste prisli?

akdar · 04. 04. 2017 18:33

↑ vanok:
přeji hezký podvečer,
můžu se zeptat, co znamená GMB M?

akdar · 04. 04. 2017 18:37 — Editoval akdar (04. 04. 2017 18:49)

↑ vanok:
k první otázce - pro $k=1$ kružnice přechází v osu usečky BA?

misaH · 04. 04. 2017 19:12 — Editoval misaH (04. 04. 2017 19:12)

↑ akdar:

Geometrické miesto bodov M?

vanok · 04. 04. 2017 20:07

↑ misaH:
Ano presne tak 🤙

vanok · 04. 04. 2017 20:19

Pozdravujem ↑ akdar:,
Ked k=1 to znamena, ze MA=MB.
A mnozina takych bodov ( povie sa aj geometricke miesto bodov co sa teraz casto pise GMB) je potom osa usecky AB, a v tom pripade nie je kruznica ale priamka.
(Myslim, ze k tomu pripadu netreba nic dodat).
Tu nasu vlasnost ako prve dokazeme vdaka analytickej geometrii.
Pripravim to tak aby kazdy mohol odpovedat na seriu lahkych otazok a mal potom jeho vlastny dokaz.
( potom to este dokazeme aj inac, to sa bude potom podobat na dokazy z Wikipedii, ale urobime to trosku detailnejsie)
Na pokracovanie...

vanok · 05. 04. 2017 11:14

Pred riesenim je uzitocne nactrtnut danu situaciu.
Podla oznaceni, co pouzijeme v tomto dokaze, predpokladajme ze priamka (AB) je vertikalna,
a v trojuholniku AMB, bod H je kolma projekcia bodu M na AB.
Polozme x=MH, y=BH, a=AM, b=BM, s=AB.

V dokaze sa vyuzije, ze trojuholniky AHM, BHM su pravouhle a pochopitelne, ze $\frac {MB}{MA}=k$ .

akdar · 06. 04. 2017 00:11

Ahoj ↑ vanok:
náčrt:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-04/30283_APOL..png

vanok · 06. 04. 2017 08:26 — Editoval vanok (06. 04. 2017 12:23)

Pozdravujem.
Vyborne.
Je jasne ze HA=s-y

A co nam da Pythagorova veta ?

Nezabudnime tiez, ze
MB/MA=k a preto aj
$MB^2=k^2MA^2$ , co sa pise aj takto $b^2=k^2 a^2$ .

akdar · 06. 04. 2017 10:21

zdravím ↑ vanok:
nejsem si jistá, co mám dokazovat? :(

vanok · 06. 04. 2017 12:11 — Editoval vanok (06. 04. 2017 12:19)

↑ akdar:
Rovnica kruznice sa vseobecne pise : $(x-p)^2+(y-q)^2=R^2$
A my sa tiez musime dopracovat k podobnej rovnici.

akdar · 06. 04. 2017 21:53 — Editoval akdar (06. 04. 2017 23:57)

Hezký večer ↑ vanok:
dostanu soustavu 2 rovnic $(s-y)^{2} + x^{2} = a^{2}$ : a $y^{2} + x^{2} = b^{2}$ což můžu napsat i jako $y^{2} + x^{2} = k^{2}a^{2}$
kde x, y jsou souřadnice bodu M
Edit: vymazán špatný postup

vanok · 06. 04. 2017 23:37 — Editoval vanok (07. 04. 2017 15:51)

Ahoj, pred tvojim dodatkom si bola na dobrej ceste k rovnici typu $(x-p)^2+(y-q)^2=R^2$ . V poslednej rovnici p, q, R du konstanty.... no vsak a, b v rovnostiach co si napisala nie su ( ale vieme, ze $b^2=k^2 a^2$ , a tak treba a, b vylucit).
Dalo sa tak pokracovat... takto
Z rovnic co si napisala dostaneme
$x^2+y^2= k^2 $ x^2+(s-y)^2 $$ (toto je treba vyuzit)

akdar · 06. 04. 2017 23:56

↑ vanok:
když teda vezmu rovnice před dotatkem:
$x^{2}+y^{2}=k^{2}a^{2}$ a místo $a^{2}$ dám první rovnici vyšlo mi:

$x^{2}+y^{2}=k^{2}(x^{2}+(s-y)^{2})$
kde jsi vzal to b?

vanok · 07. 04. 2017 00:04 — Editoval vanok (07. 04. 2017 00:05)

↑ akdar:,
To b som opravil bol to preklep ... na mobile sa blbo pise 😋.
Zajtra napisem cely dokaz.
Najhlavnejsie je pochopit, ze treba vylucit a, b. A potom sa dostat k rovnici kruznici, co urci jej stred a polomer.

No a teraz je to na dobrej ceste!

akdar · 07. 04. 2017 00:06

↑ vanok:
děkuji :)
to s tím a,b mi nedošlo, mě se nelíbí s, protože ho neznám, tak jsem se snažila vyloučit s.

vanok · 07. 04. 2017 00:19

↑ akdar:
s to je dlzka AB a ta je dana, ( presnejsie body A, B su dane v celom probleme, to je bod M co sa "hybe" ) tak to je konstanta.

akdar · 07. 04. 2017 00:23

↑ vanok:↑ vanok:
jo, jasně, to v minulém vlákně jsme hledali AB, půjdu radši spát :) Dobrou noc.

vanok · 07. 04. 2017 00:28

↑ akdar:,
Ano toto vlakno je uplne samostatne.
To nam umozni prehlbit tuto temu. ( v predoslom vlakne islo iba o to ze bolo zaujimave pouzit take kruznice, no vsak tu pojdeme dalej.... ).

akdar · 07. 04. 2017 00:33

↑ vanok:
Měla jsem bohaté rodiče, koupili mi dlouhé vedení :)

akdar · 07. 04. 2017 13:37

Ahoj,
je to správně?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 07. 04. 2017 15:36

↑ akdar:
Sikovno si dosla k dobremu vysledku.

vanok · 07. 04. 2017 16:04 — Editoval vanok (07. 04. 2017 16:06)

Poznamka.
Keby sme hladali GMB take ze $\frac {MA}{MB}=k^*$ (1) (tak ako niekeby sa to najde) tak ide tiez o kruznicu ( ale inu) a ak by sme hladali jej rovnicu tak staci poznamenat, ze (1) sa ekvivalentne pise ako $\frac {MB}{MA}=\frac 1{k^*}$ .

vanok · 07. 04. 2017 16:15

Pred tym ako pojdeme dalej pouzime najdeny vysledok v tomto priklade.
Priklad. Nech je dany trojuholnik ACB taky ze CA= 2, CB=4, AB=3 ( vsetko v cm)
Narysujte kruznicu bodov M, taku, ze $\frac {MB}{MA}=2$ .
Otazka: tato kruznica prechadza cez bod C?

Matematické Fórum

#1 04. 04. 2017 08:30 — Editoval vanok (04. 04. 2017 08:32)

MB/MA=k je kruznica

#2 04. 04. 2017 14:25

Re: MB/MA=k je kruznica

#3 04. 04. 2017 18:33

Re: MB/MA=k je kruznica

#4 04. 04. 2017 18:37 — Editoval akdar (04. 04. 2017 18:49)

Re: MB/MA=k je kruznica

#5 04. 04. 2017 19:12 — Editoval misaH (04. 04. 2017 19:12)

Re: MB/MA=k je kruznica

#6 04. 04. 2017 20:07

Re: MB/MA=k je kruznica

#7 04. 04. 2017 20:19

Re: MB/MA=k je kruznica

#8 05. 04. 2017 11:14

Re: MB/MA=k je kruznica

#9 06. 04. 2017 00:11

Re: MB/MA=k je kruznica

#10 06. 04. 2017 08:26 — Editoval vanok (06. 04. 2017 12:23)

Re: MB/MA=k je kruznica

#11 06. 04. 2017 10:21

Re: MB/MA=k je kruznica

#12 06. 04. 2017 12:11 — Editoval vanok (06. 04. 2017 12:19)

Re: MB/MA=k je kruznica

#13 06. 04. 2017 21:53 — Editoval akdar (06. 04. 2017 23:57)

Re: MB/MA=k je kruznica

#14 06. 04. 2017 23:37 — Editoval vanok (07. 04. 2017 15:51)

Re: MB/MA=k je kruznica

#15 06. 04. 2017 23:56

Re: MB/MA=k je kruznica

#16 07. 04. 2017 00:04 — Editoval vanok (07. 04. 2017 00:05)

Re: MB/MA=k je kruznica

#17 07. 04. 2017 00:06

Re: MB/MA=k je kruznica

#18 07. 04. 2017 00:19

Re: MB/MA=k je kruznica

#19 07. 04. 2017 00:23

Re: MB/MA=k je kruznica

#20 07. 04. 2017 00:28

Re: MB/MA=k je kruznica

#21 07. 04. 2017 00:33

Re: MB/MA=k je kruznica

#22 07. 04. 2017 13:37

Re: MB/MA=k je kruznica

#23 07. 04. 2017 15:36

Re: MB/MA=k je kruznica

#24 07. 04. 2017 16:04 — Editoval vanok (07. 04. 2017 16:06)

Re: MB/MA=k je kruznica

#25 07. 04. 2017 16:15

Re: MB/MA=k je kruznica