Matematické Fórum

natalie1993

Ahoj všem, snažím se vyřešit rovnici:
$x^{16}=1$ v grupě $\mathbb{Z}_{*50}$ (myšleno GRUPA s prvky nesoudělnými s 50, grupa invertibilnch prvků ) .
Zasekla jsem se asi již na začátku, můj původní plán byl zjistit počet prvků této grupy, a potom exponent zmenšit na gcd(16, počet prvků) a dostat nějakou "lehčí" rovnici, která by šla již z hlavy. Pro výpočet prvků jsem použila vzorec $\varrho (m\cdot n)=\varrho(m)m\varrho(n)$ přičemž, když m, n jsou prvočísla tak, je to rovno p-1. Myslela jsem tedy že výsledek je: $\varrho (5\cdot 10)=\varrho(5)\varrho(10) =\varrho(5)\varrho(5)\varrho(2)= 4\cdot 4\cdot 1= 16$
když jsem si však čísla vypsala vyšlo mi jich 20. První otázka tedy zní : neplatí tento vzorec pro grupy všechny? Nebo dělám něco špatně? Další otázka zní, jak se řeší tyto rovnice? Můžu exponent zmenšit na gcd(16, počet prvků/?
Prosím o jakoukoliv pomoc, opravdu na toto téma nemůžu najít příklady, tak nevím odkud se to naučit. Děkuji

vanok · 05. 04. 2017 18:12 — Editoval vanok (05. 04. 2017 18:45)

Ahoj ↑ natalie1993:,
Trochu trpezlivosti a najdes riesenia 1,7, 43 a 49.

natalie1993 · 05. 04. 2017 21:48

No , já doufala spíš v radu s postupem než ve výsledek :)
Jinak mi to asi vyšlo, ale nejsem si tím moc jistá. Mohl bys prosím na to hodit oko? Děkuji za odpověď.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-04/21723_grupy.jpg

vanok · 06. 04. 2017 06:52 — Editoval vanok (06. 04. 2017 06:57)

↑ natalie1993:,
Nie je jedinny postup na riesenie tvojho cvicenia.
To robis v akej prednaske.
Niektore otazky o si napisal v #1 su jednoduche na odpoved, ako na priklad akoze $\varphi (50)=20$ a tak $Z_{50}^*$ ma 20 prvkov.
Inverzibilne su prvky mnoziny $\{1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 39, 41, 43, 47, 49 \}$
( vysetrit ich rad je jedna z metod co moze byt pouzita na riesenie tvojej rovnice)
Jednoducha otazka : je tvoja groupa cyklicka? Ak ano preco ?
Poznas "cinsku" teoremu = théorème chinois ?( moze pomoct )

Tvoje riesenie sa da komentovat, len ak napises v kazdej etape pouzite vety.

Brano · 06. 04. 2017 12:58

alebo len rozkladat polynom na ireducibilne cleny
$gcd(16,20)=4$ t.j. riesime $x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x^2-1)(x^2-49)=...$

Matematické Fórum

#1 05. 04. 2017 15:31 — Editoval natalie1993 (05. 04. 2017 15:33)

Řešení rovnice v grupě

#2 05. 04. 2017 18:12 — Editoval vanok (05. 04. 2017 18:45)

Re: Řešení rovnice v grupě

#3 05. 04. 2017 21:48

Re: Řešení rovnice v grupě

#4 06. 04. 2017 06:52 — Editoval vanok (06. 04. 2017 06:57)

Re: Řešení rovnice v grupě

#5 06. 04. 2017 12:58

Re: Řešení rovnice v grupě

Zápatí