Matematické Fórum

moab · 24. 04. 2017 23:02

Ahoj, potřeboval bych parametrizovat elipsu (stačí v rovině), ale tak, aby parametr nevyjadřoval rovnoměrný nárůst úhlu (běžné obecné polární souřadnice), nýbrž aby vyjadřoval rovnoměrně nárůst délky oblouku. Příklad: obvod dané elipsy je 1, parametr je z intervalu $\left< 0;\,10\right)$ . Body s parametrem rovným celému číslu budou právě v desetinách délky elipsy. Snad je to srozumitelné...

Bati · 25. 04. 2017 00:15

Ahoj ↑ moab:,
chceš tedy, aby velikost tečného vektoru (tj. rychlost procházení) byla konstantní, dejme tomu např. 1 (lineární přeškálování můžeme udělat až nakonec). Zapsáno matematicky hledáš $\varphi$ , aby $\varphi'>0$ a $\left|\frac{d}{dt}X(\varphi(t))\right|=1$ , kde $X(t)=(a\cos t,b\sin t)$ , $t\in[0,2\pi)$ je běžná parametrizace. To vede na rovnici $f(\varphi)^2\varphi'^2=1$ , kde $f(y):=\sqrt{a^2\sin^2y+b^2\cos^2y}$ je spojitá, a tak existuje její primitivní funkce $F$ . Odtud dostáváme $(F(\varphi))'=1$ , tj. $F(\varphi(t))=t+c$ , BUNO $c=0$ . Protože $f>0$ , je $F$ rostoucí a existuje $F^{-1}$ , takže $\varphi(t)=F^{-1}(t)$ .

Pro $a\neq b$ funkce $F$ nelze vyjádřit pomocí elementárních funkcí, je to tzv. eliptický integrál. Pro $a=b$ snadno dostáváme známý výsledek.

moab · 25. 04. 2017 08:12

↑ Bati: Dík moc, s derivací mě to taky napadlo, ale nedokázal jsem to dotáhnout. Po pravdě i v tvém popisu jsou na mě některé implikace moc rychlé, třeba z čeho plyne $f(\varphi)^2\varphi'^2=1$ ...
Nicméně jsem výsledek očekával, tedy že to nejde pomocí "normálních" funkcí. A šlo by to tedy pomocí zmíněné funkce $F$ , případně pomocí eliptického integrálu (asi úplný druhého druhu?)? Nebo aproximovat s využitím nějakého přibližného vzorce na obvod elipsy (mimochodem který je nejlepší, ne řada)?

Bati · 25. 04. 2017 09:18

↑ moab:
To plyne z toho, že $(X(\varphi(t))'=(-a\sin\varphi(t),b\cos\varphi(t))\varphi'(t)$ a teď spočítáš velikost tohoto vektoru (na druhou - to je jedno).

Výsledek pomocí funkce $F$ jsem uvedl: $E(t)=(a\cos(F^{-1}(t)),b\sin(F^{-1}(t)))$ , $t\in[0,?)$ .

$F$ není přesně eliptický integrál jak se definuje, ale dá se převést jednoduchými úpravami na integrál druhého druhu. Úplný integrál je jen číslo (související s obvodem), my potřebujeme celou primitivní funkci, tj. neúplný.

Přibližné vzorce neznám. Já bych ale postupoval tak, že na ten integrál bych aplikoval nějakou klasickou kvadraturu, např. složené Simpsonovo pravidlo. Integrand totiž nemá žádné "singularity" a tak by všechny kvadratury měly dobře aproximovat. Pak budeš muset nějak spočítat inverzi, ale to by neměl být problém.

moab · 25. 04. 2017 15:25

Díky moc, budu se muset některými věcmi prokousat. Jsi neskutečně rychlý, ani jsem nečekal, že by mi někdo odpověděl... Pěkný den!

Eratosthenes

↑ moab:

Zkusím ještě jinak. Vyjdeme z polární rovnice elipsy:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-04/53283_Elipsa1.png

$|\bf p|=\frac 1 {1+\varepsilon \cos t}$

konstantní úhlovou rychlost pak modeluje parametrizace

$\bf p = (p_1;p_2) =$|\bf p|\cos t ; |\bf p| \sin t $$

Dostaneme parametrizaci, kde parametrem je úhel s vrcholem v ohnisku (tj. tyto žluté a modré úhly jsou shodné).

Konstantní obvodovou rychlost zajistí tzv. parametrizace obloukem:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-04/53768_Elipsa2.png

Obvodová rychlost je dána derivací vektoru $\bf p^.$ Pro jeho velikost je

$| \bf {p}^.\rm {(t)}|=\sqrt {\bf p^.\rm {(t)}\cdot \bf p^.\rm {(t)}}$

Pro získání příslušné parametrizace dráhy je třeba tento výraz integrovat:

$\bf s \rm (t)=\int \sqrt {\bf p^.\rm {(t)}\cdot \bf p^.\rm {(t)}} dt$

//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-04/54479_Elipsa4.png

Parametrem je tentokrát oblouk elipsy, tj. shodné jsou délky modrých a žlutých eliptických oblouků.

A můžeme třeba i "parametrizovat plochou":

Plocha, opsaná pohybujícím se bodem za jistý (diferenciální) časový okamžik je rovna obsahu trojúhelníka určeného vektory $\bf p; p^.$ , okamžitá plošná rychlost je tedy

$\bf {w} = \frac 1 2 $ \bf p \times p^.$$

její velikost

$| \bf {w}\rm {(t)} | = \sqrt {\bf {w} \rm {(t)}\cdot \bf {w}\rm {(t)}}$

a příslušná parametrizace opět integrací

$\bf {W} = \int \sqrt {\bf {w} \rm {(t)}\cdot \bf {w}\rm {(t)}} dt$

//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-04/55510_Elipsa5.png

Tentokrát se rovnají modré a žluté plochy :-)

Tož na zdraví, pane Keplere...