Matematické Fórum

Janka o_O

Ahojte.

Vedel by mi niekto pomôcť s domácou úlohou? Postačí mi, ak mi odporučíte nejaký materiál, kde by som to mohla nájsť alebo mi dáte nejaký hint.
Máme určiť n-tý člen postupnosti použitím vlastných hodnôt.
$a_{1} =1, a_{2} = \frac{1}{2}, a_{n} = a_{n-1} + \frac{3}{4}a_{n-2}$ .

Za každú pomoc vopred veľmi pekne ďakujem. :)

vytautas · 15. 05. 2017 19:21

ahoj

str.310 príklad 9.2

Janka o_O · 15. 05. 2017 20:29

↑ vytautas:

Ahoj, vďaka za pomoc. Úprimne, veľa som z toho nepochopila. :( Ale našla som to tu ( časť 2.2): http://people.math.gatech.edu/~ecroot/r … notes2.pdf trochu lepšie vysvetlené. Ale napriek tomu to neviem urobiť.... a nikto zo spolužiakov to nevie. :(

vytautas · 15. 05. 2017 20:45

↑ Janka o_O:

najprv, treba si sustavu zapisat v maticovom tvare

dalej, treba najst vlastne cisla, vlastne vektory prislusnej matice

v tvojom texte je to super vysvetlene, tak ak chces pytaj sa konkretne, co nie je jasne.

Janka o_O

↑ vytautas:

Ahoj...začala som takto:
$a_{1} = 1 a_{2}=\frac{-1}{2} a_{3} = a_{2} + \frac{3}{4}a_{n-2} a_{4} = a_{3} + \frac{3}{4}a_{2}$

$[ \frac{a_{3}}{a_{2}}] = [\frac{1}{1}\frac{3/4}{0}]$

$[ \frac{a_{4}}{a_{3}}] = [\frac{1}{1}\frac{3/4}{0}][\frac{a_{3}}{a_{2}}] = [\frac{1}{1}\frac{3/4}{0}]^{2}[\frac{a_{2}}{a_{1}}]$
$

PS: nevedela som napísať maticu, tak som tie členy napísala ako zlomky, aby to vyzeralo ako matica, hádam pochopíš. :)
Idem na to dobre? :)

Janka o_O · 15. 05. 2017 21:28

↑ vytautas:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-05/76484_postupnosti.png

vytautas · 15. 05. 2017 21:55

↑ Janka o_O:

ano, vcelku ano. $\begin{pmatrix} a_{k} \\ a_{k-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{4} \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{k-1} \\a_{k-2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & \frac{3}{4} \\ 1 & 0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix} a_1\\a_0\end{pmatrix}$

Mame teda maticu $A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{4} \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ a hladame jej vlastne cisla a vektory.

Janka o_O · 15. 05. 2017 21:57

↑ vytautas:

zatiaľ som došla tu:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-05/78244_dalsie.png

vytautas · 15. 05. 2017 22:12

↑ Janka o_O:

super, teraz vlastne vektory prislusne vlastnym cislam.

potom nam plati $A^ku_1=\lambda^ku_1$ , podobne pre $\omega$

potom uz len staci vyriesit $\begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \end{pmatrix}=au_1+bu_2$ , pretoze $\begin{pmatrix} a_k \\ a_{k-1} \end{pmatrix}=A^k \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \end{pmatrix}=A^k(au_1+bu_2)=aA^ku_1+bA^ku_2=a\lambda^ku_1+b\omega^ku_2$

ak som sa nikde nezmylil.

teraz by si to uz mala dopocitat. keby bol problem, pytaj sa dalej

Janka o_O · 15. 05. 2017 22:28

↑ vytautas:

Je to dobre?
Vďaka za Tvoju pomoc. :)

//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-05/80121_takmerhotove.png

Janka o_O · 15. 05. 2017 22:52

↑ vytautas:

Čo teraz?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-05/81512_uzuz.png

Všetko pred tým by malo byť správne. :)
Od tohto kroku sa neviem pohnúť. :(

vytautas · 15. 05. 2017 23:11

↑ Janka o_O:

nie som si isty, co je co, netusim, preco tam nepodosadzujes a netusim, preco nepouzivas metodu, co som ti pisal vyssie.

na toto sa ti pozriem rano

Janka o_O · 15. 05. 2017 23:21

↑ vytautas:

Dobre, vďaka :)
Dobrú noc.

Janka o_O · 16. 05. 2017 08:30

↑ vytautas:

Ahoj, vytautas, išla som na to dobre, ale mám tam chybu .... v príspevku #11 v 5. matici nemá byť 1 a (-1/2), ale naopak, teda (-1/2) a 1.
Potom stačí dosadiť hodnoty $\varphi a \omega$ a dorátať ...vyšlo (-1/2) ^ (n-1).

Veľmi pekne ďakujem za Tvoju pomoc. :)

vanok · 16. 05. 2017 10:36

Ahoj,
Poznamka.
Vlastne hodnoty si mohla dostat priamo vdaka tvojej rekurentnej relacii.
$a_{n} = a_{n-1} + \frac{3}{4}a_{n-2}$ .

vytautas · 16. 05. 2017 18:00

↑ Janka o_O:

rado sa stalo :)

Janka o_O · 17. 05. 2017 23:06

↑ vanok:

Ahoj, Vánok.

Vďaka za upozornenie.
Neviem, či idem na to správne, ale možno si to myslel takto:

$a_{n} = a_{n-1}+\frac{3}{4}a_{n-2}$
$-a_{n} + a_{n-1}+\frac{3}{4}a_{n-2} = 0$
$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4*\frac{3}{4}}}{-2}$
$x_{1} = \frac{-1+2}{-2} = \frac{-1}{2}$
$x_{2} = \frac{-1-2}{-2} = \frac{3}{2}$

vanok · 17. 05. 2017 23:13

↑ Janka o_O:,
Ano.

Janka o_O · 17. 05. 2017 23:14

↑ vanok:

Alebo to vyjde aj takto:
$\frac{3}{4}a_{n-2}+ a_{n-1}- a_{n} = 0$
$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{1+4*\frac{3}{4}}}{2*\frac{3}{4}}$
$x_{1}=\frac{-1+2}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$
$x_{2}=\frac{-1-2}{\frac{3}{2}} = \frac{-3}{\frac{3}{2}}=-2$

No potom sú vlastné hodnoty $x_{1}^{-1}$ a $x_{2}^{-1}$ .
:)

Janka o_O · 17. 05. 2017 23:17

↑ vanok:

Vďaka za upozornenie. V škole nás na to neupozornili a pritom je to oveľa jednoduchší a rýchlejší postup.
Ďakujem.

Matematické Fórum

#1 15. 05. 2017 18:48 — Editoval Janka o_O (15. 05. 2017 18:49)

Vlastné hodnoty a postupnosť

#2 15. 05. 2017 19:21

Re: Vlastné hodnoty a postupnosť

#3 15. 05. 2017 20:29

Re: Vlastné hodnoty a postupnosť

#4 15. 05. 2017 20:45

Re: Vlastné hodnoty a postupnosť

#5 15. 05. 2017 21:22 — Editoval Janka o_O (15. 05. 2017 21:22)

Re: Vlastné hodnoty a postupnosť

#6 15. 05. 2017 21:28

Re: Vlastné hodnoty a postupnosť

#7 15. 05. 2017 21:55

Re: Vlastné hodnoty a postupnosť

#8 15. 05. 2017 21:57

Re: Vlastné hodnoty a postupnosť

#9 15. 05. 2017 22:12

Re: Vlastné hodnoty a postupnosť

#10 15. 05. 2017 22:28

Re: Vlastné hodnoty a postupnosť

#11 15. 05. 2017 22:52

Re: Vlastné hodnoty a postupnosť

#12 15. 05. 2017 23:11

Re: Vlastné hodnoty a postupnosť

#13 15. 05. 2017 23:21

Re: Vlastné hodnoty a postupnosť

#14 16. 05. 2017 08:30

Re: Vlastné hodnoty a postupnosť

#15 16. 05. 2017 10:36

Re: Vlastné hodnoty a postupnosť

#16 16. 05. 2017 18:00

Re: Vlastné hodnoty a postupnosť

#17 17. 05. 2017 23:06

Re: Vlastné hodnoty a postupnosť

#18 17. 05. 2017 23:13

Re: Vlastné hodnoty a postupnosť

#19 17. 05. 2017 23:14

Re: Vlastné hodnoty a postupnosť

#20 17. 05. 2017 23:17

Re: Vlastné hodnoty a postupnosť

Zápatí