Matematické Fórum

Oriešok

Pekný večer,

potrebovala by som dokázať, že integrál $\int_{1}^{nekonecno}\frac{|sin(x)sin(2x)|}{x^{a}} dx$ pre a na intervale (0,1] diverguje. Viem dokázať divergenciu pre α<=0 odhadom zdola integrálom funkcie |sin(x)sin(2x)| a následne BC-podmienkou. Pre interval (0,1] som ale vhodný odhad nenašla.

Oriešok · 07. 06. 2017 09:42

Nakoniec sa mi to podarilo nejako rozložiť, teraz mi stačí dokázať, že $\int_{1}^{nekonecno} \frac{sin^{2}x}{x^{a}}dx$ pre $a\in (0,1]$ diverguje. Nejaký nápad?

Bati · 07. 06. 2017 10:00 — Editoval Bati (07. 06. 2017 10:03)

Ahoj ↑ Oriešok:,
nejsem si jistý, jak jsi to rozložila, kdyžtak to sem napiš. Je potřeba brát v potaz to, že když to napíšeš jako součet nějakch divergentích integrálů, tak o tom původním to neříká nic.

Já bych se zkusil podívat na to, kdy je ten čitatel větší než nějaký číslo $c\in(0,1)$ . Z grafu by mělo být vidět, že takový $c$ půjde najít např. pro dostatečně malé okolí bodů $\tfrac{\pi}4+k\tfrac{\pi}2$ , $k\in\mathbb{Z}$ . Proto ten integrál budeš moct zespoda odhadnout sumou $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{c}{k^a}$ (až na nějaké konstanty), o níž víme, že diverguje pro $a\leq 1$ .

Oriešok · 07. 06. 2017 10:51

Ďakujem za odpoveď. A áno máte pravda nakoniec som to kvoli zlemu roznásobeniu rozložila na dva divergentne. (bola som v domneni ze rozkladam na konvergentny+divergentny)

Upravovala som to asi takto
$\int_{1}^{nekonecno}\frac{2sin^{2}x|cos(x)|}{x^{a}}dx = \int_{}^{}\frac{2sin^{2}x\sqrt{\frac{1+cos(2x)}{2}}}{x^{a}}dx$ to je vacsie rovno $\int_{}^{}\frac{sin^{2}x(1+cos(2x))}{x^{a}}dx = \int_{}^{}\frac{sin^{2}x}{x^{a}}dx+\int_{}^{}\frac{sin^{2}xcos(2x)}{x^{a}}dx$

Matematické Fórum

#1 07. 06. 2017 00:10 — Editoval Oriešok (07. 06. 2017 00:14)

Absolútna konvergencia integrálu

#2 07. 06. 2017 09:42

Re: Absolútna konvergencia integrálu

#3 07. 06. 2017 10:00 — Editoval Bati (07. 06. 2017 10:03)

Re: Absolútna konvergencia integrálu

#4 07. 06. 2017 10:51

Re: Absolútna konvergencia integrálu

Zápatí