Matematické Fórum

Verčák · 07. 06. 2017 15:57

Ahoj,

potřebovala bych radu s jedním příkladem na vázané extrémy:

Metodou Lagrangeových multiplikátorů mám nalézt lokální extrémy funkce $f(x,y,z)=xy+z(x+y)$ v rovině $x+y+z=6$

Napsala sem si teda Lagrangeovu funkci $L(x,y,z)=xy+z(x+y) - \lambda (x+y+z-6)$ u ní provedla parciální derivace:
$\frac{\delta L}{\delta x}=y+z-\lambda$
$\frac{\delta L}{\delta y}=y+z-\lambda$
$\frac{\delta L}{\delta z}=x+y-\lambda$

ty když sem položila rovno nule mi daly (spolu s vazební podmínkou) stacionární bod $\vec{a}=(2,2,2)$

Druhé parciílní derivace mi vyšly $\frac{\delta ^{2}L}{\delta x^2}=\frac{\delta ^{2}L}{\delta y^2}=\frac{\delta ^{2}L}{\delta z^2}=0$ a $\frac{\delta ^{2}L}{\delta x \delta y}=\frac{\delta ^{2}L}{\delta x \delta z} = \frac{\delta ^{2}L}{\delta y \delta z}=1$

vyjádřila sem si kvadratickou formu druhého diferenciálu jako $d^{2}L_{\vec{a}}=2dxdy+2dxdz+2dydz$ pak z diferenciálu vazební podmínky $dx+dy+dz=0$ vyjádřila redukovanou kvadratickou formu jako $-2dy^{2}-2dzdy-2dz^{2}$
napsala si matici $\begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -1 & -2 \\ \end{pmatrix}$ první subdeterminant je tedy -2 druhý je 3 podle čehož by měla být daná forma negativně definitní a tedy podle našich skript by ve zkoumaném bodě mělo být ostré vázané lokální maximum.

A teď kde je problém... podle výsledků má v tomhle bodě být lokální minimum, tady bych se smířila s tím, že je tam prostě překlep, ale chtěla sem se ujistit a tak to zadala do wolframu a ten mi vyplivl tohle:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-06/43493_vazanyextrem.PNG
což mě dokonale zmátlo, protože pokud vidím dobře (a koukala sem na to fakt dlouho) tak mi wolfram říká, že ta funce má v bodě 2,2,2 globální maximum a zároveň lokální minimum, přičemž žádné globální minimum nemá.
Jak je to možné??? Je chyba někde v mém výpočtu nebo kde?

Děkuji moc!

jelena · 09. 06. 2017 18:37

Zdravím,

ve Tvém postupu (až na překlep u $\frac{\delta L}{\delta y}$ , má být $\frac{\delta L}{\delta y}=x+z-\lambda$ - tak?) jsem snad problém nenašla. Téma jsem přesunula do sekce CAS (vzhledem k rozporu s WA, snad ještě použit něco jiného z nástrojů).

Zkusila jsem (pro představu chování funkce) z podmínky vyjádřit $z$ a dosadit do předpisu funkce, nachází to maximum Odkaz, počkáme ještě na kolegy ohledně CAS, kolegům děkuji.

Verčák · 09. 06. 2017 22:07

↑ jelena:
Ahoj.
Děkuji za odpověď. Já jsem si tím mým postupem téměř 100% jistá (ta derivace podle y byl opravdu překlep), na všech ostatních příkladech to funguje, vykreslení funkce už jsem zkoušela taky a vše mě vede k maximu, takže sem se smířila s tím že je chyba ve Wolframu (což je pro mě docela děsivé.. dost na něj spoléhám). Ale nějaké vysvětlení k tomu wolframu bych uvítala, má li tohle být nějaké jeho specifikum, ať vím na co si dát pozor. Děkuji.

jelena · 11. 06. 2017 08:37

↑ Verčák:

Zdravím, specifikum nebo chyba to nejspíš nebude, ale důsledek "zabudované" odlišné definice nebo jak je nastavena procedura (to by snad mohli kolegové s Mathematica poradit).

Jsem ještě včera zkoušela alespoň trochu podrobněji projít celý postup - když sestavím matici druhých parciálních derivací, tak mi nejde použit Sylvestrovo kritérium, jelikož první horní minor je 0. Potom použiji jiné šetření (dosazení $z=6-x-y$ do předpisu funkce a šetřím funkci 2 proměnných, kde to již vychází jednoznačně pro použití S. kritéria a podle něho je maximum).

Jelikož zadaná funkce v prostoru tvoří "balíček" hyperboloidů (pro představu položím $f(x,y,z)=c$ a vytvářím povrchy řezů) a podmínka je dána rovinou, tak jsem ještě zkusila ve WA nakreslit, co se děje. Podle návodu od kolegy z vedlejšího tématu jsem zadávala kreslení Odkaz, konkrétně pro řešení, můžeš prozkoušet další řezy vůči zadané rovině.

Zajímavá je situace, kdy dám vazbou rovinu $x+y+z=0$ Odkaz, kdy WA nachází dokonce 4 výsledky pro bod (0,0,0) Odkaz, pro ostatní roviny našel vždy 2 ve stejném bodě.

Nějaké vysvětlení k zabudované proceduře mi to neposkytlo, jen jak vidíš zádrhel použití Sylvestrova kritéria, o kterém jsem psala na úvod? Mohla bych mít náhled na vaše materiály, jak je doporučeno vyhodnocovat podmínku, o které se zmiňuješ v příspěvku? Děkuji.

Verčák · 11. 06. 2017 10:20

↑ jelena:

Ahoj.

Myslíš jako že když sestavíš matici druhých parciálních derivací v tom mojem postupu? Nějak tam nevidím tu 0. Resp. já sestavuji matici až po redukci s ohledem na tu vazební podmínku a pak tam nula není.
Já se učím na přijímačky na FJFI tak trošku samostudiem. Používám skripta Matematická analýza IV od Mgr. Milana Krbálka, Ph.D. (Teď nevím, je potřeba sem hodit přesnou citaci?) a koukám na přednášky pana docenta na youtube Odkaz. Ve skriptech je napsaný přesně ten postup co jsem použila:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-06/68568_vazan%25C3%25BD%2Bextr%25C3%25A9m%2Bpostup.jpg

a jeden vypočítaný příklad s postupem

Jinak co se týče vyhodnocování definitnosti kvadratické formy tak buď sylvesterovo kritérium, nebo přes vlastní čísla nebo převést na čtverce.

Stačí takhle?

jelena · 13. 06. 2017 16:53 — Editoval jelena (14. 06. 2017 11:16)

Zdravím,

omlouvám se, neodhadla jsem své časové možností. Děkuji za přidání materiálu, prošla jsem všechno, vč. řešeného příkladu, v samotné metodice jsem nic nenašla, co by mohlo alespoň oklikou vést k řešení, které WA nabízí.

V ručním výpočtu nuly jsou v neredukované formě (jak máš vypočteno i v 1. příspěvku, v redukované již není, vyšlo mi to stejně), jen zde jsem viděla možný krok WA k výsledku, který nabízí. Ruční postup souhlasí také s metodou vyjádření jedné proměnné a snížení tak počtu proměnných vyšetřované funkce. Oba postupy vedou ke shodnému závěru úlohy.

Poprosila jsem přes PM kolegu Stýva (předpokládám, že Mathematica má), zda by nevykoukal něco v kódech (v open code WA jsem nevykoukala nic), snad jen v dokumentaci (v porovnání s open code):

If the minimum is achieved only infinitesimally outside the region defined by the constraints, or only asymptotically, Minimize will return the infimum and the closest specifiable point.

Asi to ani tak příliš neuklidní co do spolehlivosti použití nástrojů pro kontrolu výpočtu. Zatím, co se odůvodnilo, tak odlišně zavedené definice ve WA (lichá odmocnina, kotangens), takovou potíž, jak popisuješ, jsem v archivu sekce zatím nenašla. Nakonec se lze poptat i přímo u autorů.

Kolegovi Stývovi děkuji za případnou odezvu a Tobě přeji úspěšnou přípravu.

Edit: dle doporučení kolegy Stýva posláno WA.

Matematické Fórum

#1 07. 06. 2017 15:57

Vázané extrémy funkce více proměnných

#2 09. 06. 2017 18:37

Re: Vázané extrémy funkce více proměnných

#3 09. 06. 2017 22:07

Re: Vázané extrémy funkce více proměnných

#4 11. 06. 2017 08:37

Re: Vázané extrémy funkce více proměnných

#5 11. 06. 2017 10:20

Re: Vázané extrémy funkce více proměnných

#6 13. 06. 2017 16:53 — Editoval jelena (14. 06. 2017 11:16)

Re: Vázané extrémy funkce více proměnných

Zápatí