Matematické Fórum

O.o · 16. 06. 2009 16:28 — Editoval O.o (16. 06. 2009 16:29)

Zdravím -),

mám hloupý dotaz možná ani úrovně střední školy nedosahuje.

Dnes jsem počítal jednoduchý integrál:

$\int{\ln(x+1)dx}$

Upravil jsem si to lineární substitucí, abych se tolik nenapsal.

$t=x+1 \nl dt=dx \nl \int{\ln(t)dt}$

Počítal Per Partes a dostal výsledek:

$\int{\ln(x+1)dx}=(x+1)(\ln(x+1)-1)+C$

Spolužačka na mne hned vyjela, že je to špatně a že by měl být výsledek (postup bez substituce bez substituce):

$\int{\ln(x+1)dx}=x\ln(x+1)+\ln|x+1|-x+D$

Už jsem takový integrál počítal několikrát, vždy mi to vyšlo správně, ale teď mám nějaké zatmění, respk. úplně jsem zhasl.

Neporadil by někdo, jakou trivialitu jsem zase pozapomněl? Zkoušel jsem to prohodit i MAWem, ale dává stejné výsledky, se substitucí první, bez substituce druhý. Nepřijde mi na ani jednom nic špatného, ale když by to byl určitý integrál a dosazovali se meze, tak už se výsledky liší znatelně..

$\int_5^8{\ln(x+1)dx}= \nl 1) \ 6,024464 \ldots \nl 2) \ -0,39201 \ldots$

Nejsem si úplně jistý nacvakáním do kalkulačky už to dělám potřetí a pokaždé to vychází jinak, ale výsledky se liší od použité metody..

Jsem dnes nějak zaseknutý a do zítra toho mám ještě co dělat, kdyby mi mohl někdo prosím odstranit tuhle nepříjemnost byl bych moc vděčný. Předem díky..

Pavel Brožek

↑ O.o:

Výsledky jsou stejné (až na konstantu, která se ale při počítání určitého integrálu odečte):
$\int{\ln(x+1)dx}=(x+1)(\ln(x+1)-1)+C=x\ln(x+1)-x+\ln(x+1)-1+C=x\ln(x+1)+\ln(x+1)-x+(-1+C)=x\ln(x+1)+\ln(x+1)-x+D$

Ta absolutní hodnota je tam trochu nesmyslně, buď bude u obou logaritmů a máš přimitivní funkci na intervalech $(-\infty,-1)$ a $(-1,+\infty)$ nebo tam nebude a máš primitivní funkci jen na $(-1,+\infty)$ .

Ten určitý integrál musí vyjít kladně, protože na intervalu $(5,8)$ je $\ln(x+1)$ kladný. Vyjde to

$\int_5^8{\ln(x+1)dx}\approx 6,024464$