Matematické Fórum

smartalec

Štvorec sa nakreslí okolo kruhu, ako je znázornené na obrázku vľavo.
Vyznačíme si modrú oblasť L.
Následne urobíme uhlopriečku ako je na obrázku vpravo.
Vyznačíme si oranžový konkávny trojuholník.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-06/90311_p587_concave_triangle_1.png
Malo by byť jasné, že konkávny trojuholník zaberá presne polovicu sekcie L.
Dve kruhy sú umiestnené vedľa seba vodorovne, obdĺžnik je nakreslený okolo oboch kruhov a uhlopriečka je ťahaná z ľavej spodnej strany do pravej hornej strany, ako je znázornené na obrázku nižšie.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-06/90324_p587_concave_triangle_2.png
Tentokrát konkávny trojuholník zaberá približne 36,46% sekcie L.
Ak sú kružnice n umiestnené vedľa seba vodorovne, obdĺžnik je nakreslený okolo kružníc n a uhlopriečka je ťahaná ľavej spodnej strany do pravej hornej strany, potom sa dá dokázať, že najmenšia hodnota n, pre ktorú konkávny trojuholník Zaberá menej ako 10% časti L je n = 15.
Aká je najnižšia hodnota n, pri ktorej konkávny trojuholník zaberá menej ako 0,1% úseku L?

jarrro · 13. 06. 2017 13:16 — Editoval jarrro (25. 03. 2019 13:38)

$y=\frac{x}{n}\nl $x-\frac{1}{2}$^2+$y-\frac{1}{2}$^2=\frac{1}{4}\nl y=\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}-$x-\frac{1}{2}$^2}\nl x_n^2-x_n+\frac{x_n^2}{n^2}-\frac{x_n}{n}+\frac{1}{4}=0\nl x_n=\frac{1+\frac{1}{n}-\sqrt{$1+\frac{1}{n}$^2-4$1+\frac{1}{n^2}$\frac{1}{4}}}{2$1+\frac{1}{n^2}$}\nl x_n=\frac{1+\frac{1}{n}-\sqrt{\frac{2}{n}}}{2$1+\frac{1}{n^2}$}\nl S_n=\frac{x_n^2}{2n}+\int\limits_{x_n}^{\frac{1}{2}}{$\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}-\(x-\frac{1}{2}$^2}\)\mathrm{d}x}$
Snáď som niečo neprehliadol ak áno opravte ma

jelena · 13. 06. 2017 17:25 — Editoval jelena (13. 06. 2017 23:18)

Zdravím,

↑ jarrro: mně se to (snad) podařilo poskládat i metody SŠ (výchozí předpoklad mám stejný, že tg(úhlu uhlopříčky s dolní odvěsnou obdélníku)=1/n. Potom používám "obsah trojúhelníku" - "obsah kruhové úseče". Pokusím se dotáhnout do vyjádření vzorcem, zda se shodneme.

↑ smartalec: odkud je úloha (podle toho bych přesunula z pokročilých VŠ do příhodnější sekce)? Děkuji.

Edit: mé vyjádření je vice komplikované formy (jelikož vyjadřuji úhly potřebné pro výpočet obsahu úseče, tedy se mi objevuje arctg(...) a sin(...)).

Honzc · 15. 06. 2017 14:44 — Editoval Honzc (26. 06. 2017 10:32)

↑ jelena:
Zdravím,
však ono kolegovi ↑ jarrro: se při výpočtu integrálu nějaký arctg nebo arsin také objeví.
Můj vztah

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Matematické Fórum

#1 12. 06. 2017 19:58 — Editoval smartalec (12. 06. 2017 20:01)

Zložitá geometria

#2 13. 06. 2017 13:16 — Editoval jarrro (25. 03. 2019 13:38)

Re: Zložitá geometria

#3 13. 06. 2017 17:25 — Editoval jelena (13. 06. 2017 23:18)

Re: Zložitá geometria

#4 15. 06. 2017 14:44 — Editoval Honzc (26. 06. 2017 10:32)

Re: Zložitá geometria

Zápatí