Matematické Fórum

adam150 · 14. 06. 2017 14:16

Ahoj, chtěl bych se zeptat jak postupovat při řešení tohoto příkladu: Najděte délku křivky C, která je dána rovnicemi $x^2+y^2+z^2=6, y+z=2$ Pokoušel jsem se vyjádřit z druhé rovnice z a dosadit ho do první a vyšlo mi $x^2+y^2+(2-y)^2=6$ ale nevím jak dál.

Stýv · 14. 06. 2017 14:31

Ja bych zacal nacrtkem.

Formol · 14. 06. 2017 14:33

↑ adam150:
Ahoj,
pokud chceš postupovat takto, tak bys měl dojít k rovnici elipsy. Tvoje rovnice jde přepsat (pokud jsem neudělal početní chybu):
$x^2+2(y-1)^2=8$

Tedy po úpravě:
$\frac{x^2}{8}+\frac{(y-1)^2}{4}=1$

Elipsa má poloosy a=4 a b=2 (odmocniny jmenovatelů). Pro obvod elipsy existují přibližné vzorce, např.:
$o \doteq \pi \sqrt{2 (a^2+b^2)\,}$

Rumburak

↑ adam150:
Ahoj.

Pomůže geometrický náhled:

Křivka $C$ je kružnicí, která je průnikem jisté kulové sféry $\kappa$ s jistou rovinou $\varrho$ .

Úlohu lze vyřešit i bez integrálního počtu. Stačí uvědomit si vzdálenost roviny $\varrho$ od
počátku $P$ soustavy souřadnic a skutečnost, že bod $P$ je středem sféry $\kappa$ .
Z těchto informací, k nimž nutno ještě přidat poloměr kulové sféry, snadno zjistíme
poloměr kružnice $C$ .

noclaf · 14. 06. 2017 14:48 — Editoval noclaf (14. 06. 2017 16:19)

Snad nebudu placat blbosti :-)

Prvni rovnice je povrch koule.
Druha rovnice je (v 3D) nekonecna plocha (rovina)
=> musis najit misto kde se protinaji a delka C je delka obvodu koule (=kruznice) v miste protnuti.

Al1 · 14. 06. 2017 21:54

↑ Formol:

Zdravím,

tak jsi početní chybu udělal. :-)

$x^2+y^2+(2-y)^2=6$ lze upravit na $x^2+2(y-1)^2=4$ a to na $\frac{x^2}{4}+\frac{(y-1)^2}{2}=1$

s hlavní poloosou a=2 a vedlejší $b=\sqrt{2}$

Navíc je ve tvém výpočtu další omyl
$\sqrt{8}\neq 4$

Rumburak

↑ Al1:

Ahoj.

Já to vidím následovně:

Křivka, o níž jde, je průnikem kulové sféry o rovnici $x^2+y^2+z^2=6$
s rovinou o rovnici $y+z=2$ , křivkou onou tedy tedy bude kružnice.
Lze řešit projekcí do roviny o rovnici $x=0$ , v níž se sféra zobrazí na pomocnou kružnici
jejíž tětivou bude obraz kružnice, jejíž délka se má spočítat a jejíž průměr bude roven
délce uvedené tětivy.

Al1 · 16. 06. 2017 11:02 — Editoval Al1 (16. 06. 2017 11:03)

↑ Rumburak:

Zdravím,

reagoval jsem jen na výpočet ↑ Formol:. :-) nebo :-(

Matematické Fórum

#1 14. 06. 2017 14:16

Délka křivky

#2 14. 06. 2017 14:31

Re: Délka křivky

#3 14. 06. 2017 14:33

Re: Délka křivky

#4 14. 06. 2017 14:45 — Editoval Rumburak (14. 06. 2017 14:49)

Re: Délka křivky

#5 14. 06. 2017 14:48 — Editoval noclaf (14. 06. 2017 16:19)

Re: Délka křivky

#6 14. 06. 2017 21:54

Re: Délka křivky

#7 16. 06. 2017 10:34 — Editoval Rumburak (16. 06. 2017 11:00)

Re: Délka křivky

#8 16. 06. 2017 11:02 — Editoval Al1 (16. 06. 2017 11:03)

Re: Délka křivky

Zápatí