Matematické Fórum

zuzka13 · 15. 06. 2017 14:08

Prosím mohl by mi někdo říct, napsat, zda je toto správně?.

$\lim_{n\to\infty } \frac{a_{n}+1}{a_n}$

= >1 tak diverguje +/- nekonečno - tedy součet řady se přibližuje nějakému číslu v nekonečnu

= (-1,1) tak konverguje - součet řady je konkrétní číslo v tomto rozmezí

= < -1 tak diverguje - součet řady vůbec neexistuje.

Děkuji

vlado_bb

↑ zuzka13: Zda sa, ze nejasne tusenie mas, ale pouzite formulacie prezradzaju vazne problemy. Tak v prvom rade, ak ide o nekonecny rad, tak $\lim_{n\to\infty } \frac{a_{n}+1}{a_n}$ nehovori o nicom. To uz skor $\lim_{n\to\infty } \frac{a_{n+1}}{a_n}$ .

Dalej - "součet řady se přibližuje nějakému číslu v nekonečnu" - v nekonecne ziadne cislo neexistuje.

"(-1,1) tak konverguje - součet řady je konkrétní číslo v tomto rozmezí" - ak mas na mysli "rozmedzie" $(-1,1)$ , odpoved je znovu - nie

zuzka13 · 15. 06. 2017 14:38

Děkuji... za tu limitu se omlouvám, nedošlo mi že tam musím přidat závorku..
dobře takže to nechápu dobře.. ale to když řada diverguje do + $\infty$ tak někam směřuje ne?
a s tou konvergenci... pokud vyjde číslo v intervalu (-1, 1) tak znamená že řada konverguje... a konvergence znamená že má řada konečnou hodnotu. nebo taky ne?

LukasM · 15. 06. 2017 16:33 — Editoval LukasM (15. 06. 2017 16:36)

↑ zuzka13:
Když řada diverguje do +nekonečna, znamená to prostě to, že posloupnost jejích částečných součtů nakonec přeleze libovolné pevně zvolené číslo. Vlado reaguje zřejmě na tu formulaci, že se přibližuje "nějakému číslu v nekonečnu".

Pokud se nepletu, kritérium v této podobě by fungovalo pouze pro řady s pouze kladnými nebo pouze zápornými členy. Pro řady s obecnými členy ne, byť neznám protipříklad. Zpravidla se proto formuluje s absolutní hodnotou uvnitř té limity, tedy jako kritérium absolutní konvergence (absolutně konvergentní řady jsou vždy konvergentní), takže pak případy, kdy ta limita vyjde záporná není třeba řešit.

Pokud bychom to tak udělali a zmíněná limita vyšla menší než 1, řada konverguje - tedy posloupnost částečných součtů má konečnou limitu. To ale ještě neříká nic o hodnotě této limity. A pozor, pokud je limita rovna jedné, tak řada nemusí divergovat. Může, ale nemusí.

Vlada zdravím a prosím o laskavou kontrolu.

vlado_bb · 15. 06. 2017 16:56

↑ zuzka13: Ano, LukasM ma pravdu. Pravdu mas aj ty v tom, ze ak limita je mensia ako jedna (hovorime uz iba o radoch s kladnymi clenmi), tak rad konverguje. Zasa pozor na formulacie - "řada někam směruje" - smerovat moze cesta, rieka, zivot cloveka, politicky vyvoj ... Rad konverguje alebo nekonverguje. Takisto je dost zvlastne hovorit o hodnote radu, ako to robis v poslednej vete svojho prispevku. Rad je z formalneho hladiska to iste, co postupnost (rozdiel je iba v tom, co nas na tejto postupnosti zaujima). Je ale pravda, ze casto sa pojem "hodnota radu" pouziva, ale je to nekorektny vyraz, v skutocnosti ide o hodnotu suctu radu. A teda limitu postupnosti ciastocnych suctov.

zuzka13

tak pokud nevadí, zopakovala bych si to..

pokud $\lim_{n\to\infty } \frac{a_{n+1}}{a_n}$ vyjde

= >1 znamená že součet řady diverguje do +/- ∞, divergence řady do +/- ∞ znamená že posloupnost nemá konečnou hodnotu, má tedy nevlastní limitu.

= (-1,1) znamená že součet řady konverguje, konvergence řady je to že posloupnost částečných součtů má konečné číslo, tedy konečnou limitu.

= <1 tedy pouze diverguje, což znamená že součet řady neexistuje.

Konvergenci dále můžeme dělit na aboslutní a neabsolutní
Absolutní konvergence je tehdy, je li konvergentní součet posloupnosti v absolutné hodnotě. $\sum_{1}^{n}|a_{n}|=Konvergentni$

když posloupnost v absolutní hodnotě diverguje $\sum_{1}^{n}|a_{n}|=Divergentni$

takhle nějak by to šlo?.. s tou konvergenci si sem asi jistá..snad ale ta divergence.. to nevím..

vlado_bb · 15. 06. 2017 19:55

↑ zuzka13: Rozoberme zatial iba prvu moznost, teda ze limita je vacsia ako 1. Mozno to, co budem pisat, posobi, ze sa vyzivam v detailoch, ale prave tieto detaily ukazuju, ci veci rozumies alebo nie. Skusajuci to rozpozna po troch tvojich vetach, bud si ista. Takze:

- sucet radu je cislo, pripadne neexistuje. Cislo nemoze konvergovat ani divergovat, to moze iba postupnost, teda aj rad. Takze nemozeme dost dobre povedat, ze sucet radu konverguje alebo diverguje. Konvergovat alebo divergovat moze rad. V tomto pripade diverguje.

- Pokial ide o $-\infty$ , precitaj si dokladne, co napisal LukasM, nejdem to uz opakovat. Rozmysli si, ci pri rade s kladnymi clenmi moze byt limita postupnosti ciastocnych suctov $-\infty$ . To je mimochodom uplne legitimna otazka, ktoru mozes dostat aj na skuske a mala by si vediet dokazat ze ano alebo nie.

- "postupnost nema konecnu hodnotu" - ktora? Mimochodom, vsetky postupnosti, o ktorych tu hovorime, su postupnostami cisel, teda KAZDA ich hodnota je konecna.

Premysli si v tomto duchu aj zvysok ulohy. Ak mozem parafrazovat George Orwella - spravne vyjadrovanie vedie k spravnemu mysleniu.

Matematické Fórum

#1 15. 06. 2017 14:08

Posloupnost - konvergence řad.

#2 15. 06. 2017 14:18 — Editoval vlado_bb (15. 06. 2017 14:18)

Re: Posloupnost - konvergence řad.

#3 15. 06. 2017 14:38

Re: Posloupnost - konvergence řad.

#4 15. 06. 2017 16:33 — Editoval LukasM (15. 06. 2017 16:36)

Re: Posloupnost - konvergence řad.

#5 15. 06. 2017 16:56

Re: Posloupnost - konvergence řad.

#6 15. 06. 2017 19:29 — Editoval zuzka13 (15. 06. 2017 19:30)

Re: Posloupnost - konvergence řad.

#7 15. 06. 2017 19:55

Re: Posloupnost - konvergence řad.

Zápatí