Matematické Fórum

tomason · 01. 07. 2017 19:43

Zdravím, potřeboval bych poradit s neurčitým integrálem obsahující goniometrickou funkci tangens a to sice $\int\text{tg}^{5}(x)dx$ . Veškeré rady, které jsem našel se týkali další goniometrické funkce $\text{sec}$ o které vím, že je definována jako $\text{sec}=\frac{1}{\cos }$ . Bohužel s takovouto funkcí jsem se dosud nesetkal a věřím, že daný příklad lze vyřešit i bez této funkce. Nejdřív mě napadlo vyjít z definice tangens: $\text{tg x}=\frac{\sin x}{\cos x}$ , ale po čase jsem se v tom opět ztratil. Moc prosím o jakoukoliv radu, či popostrčení.
Děkuji a přeji hezký den.

Jj · 01. 07. 2017 20:13

↑ tomason:

Dobrý den.

Zkusil bych substituci

$\;tg(x) = t, x = arctg(t), dx = \frac{dt}{1+t^2}$

vytautas

↑ tomason:

Ak by ta zaujimalo riesenie cez tu odporucanu substituciu $t= \frac{1}{\cos(x)}$ , tak

$\int tg^5(x) dx= \int \frac{\sin^5(x)}{\cos^5(x)}dx$

subst: $t= \frac{1}{\cos(x)}$ , $\frac{dt}{dx}=\frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} \Rightarrow dx=\frac{\cos^2(x)}{\sin(x)}dt$

teda

$\int tg^5(x) dx= \int \frac{\sin^5(x)}{\cos^5(x)}dx=\int \sin^5(x)\frac{1}{\sin(x)}t^5\frac{1}{t^2}dt=\int \sin^4(x)t^3dt=\int \sin^2(x)\sin^2(x)t^3dt=$ $\int (1-\cos^2(x))(1-\cos^2(x))t^3dt= \int (1-\frac{1}{t^2})(1-\frac{1}{t^2})t^3dt=\int t^3-2t+\frac{1}{t}dt$

a stadeto to uz nie je tazke dopocitat.(ak som sa nikde nezmylil)

tomason · 01. 07. 2017 20:42

Skvělý! Díky moc :) dopracoval jsem se k výsledku:

$\frac{\text{tg}^{4}(x)}{4}-\frac{\text{tg}^{2}(x)}{2}-\ln |\cos x|$

Což je doufám správně.

Ještě jednou díky a příjemný zbytek večera.

Jj · 01. 07. 2017 21:38 — Editoval Jj (01. 07. 2017 21:39)

tomason napsal(a):
... Což je doufám správně.

Řekl bych, že doufat je málo. Správnost lze ověřit derivací výsledku - musí vyjít původní integrand.
V každém případě doporučuji tuto kontrolu provést.

Poznámka: Ve výsledku schází integrační konstanta.

Pritt · 02. 07. 2017 10:34 — Editoval Pritt (02. 07. 2017 10:42)

↑ tomason:

Možná jednodušší:

$\int \tan^5(x) dx = \int \dfrac{\sin^5(x)}{\cos^5(x)}dx = \int \dfrac{(1-\cos^2(x))^2\sin(x)}{\cos^5(x)}dx = \begin{vmatrix} t=\cos(x)\\dt = -\sin(x)dx\end{vmatrix} = -\int \dfrac{1-2t^2+t^4}{t^5}dt = \nl = \int -t^{-5} +2t^{-3} - t^{-1}dt$

stačí dopočítat

Matematické Fórum

#1 01. 07. 2017 19:43

Neurčitý integrál

#2 01. 07. 2017 20:13

Re: Neurčitý integrál

#3 01. 07. 2017 20:24 — Editoval vytautas (01. 07. 2017 20:26)

Re: Neurčitý integrál

#4 01. 07. 2017 20:42

Re: Neurčitý integrál

#5 01. 07. 2017 21:38 — Editoval Jj (01. 07. 2017 21:39)

Re: Neurčitý integrál

tomason napsal(a):

#6 02. 07. 2017 10:34 — Editoval Pritt (02. 07. 2017 10:42)

Re: Neurčitý integrál

Zápatí