Matematické Fórum

Nie som si istý či sa pýtaš na toto ,ale viem že ,Einstein prišiel na to ,že pri meraní času a dĺžky v roznych sústavách možu rozny pozorovatelia namerať rozne hodnoty. Ak však pomocou prevodového faktoru(rýchlosť svetla) prevedieme čas aj dľžku na rovnaké jednotky a budeme ich brať rovnocenne vznikne nam stvorrozmerný priestor. Priestor v ,kt. je každý bod popísaný 4 súradnicami(x,y,z,t-čas v metroch). Einstein prišiel nato ,že vo všetkých sústavách pozorovatelia namerajú nezávysle od roznych hodnot dĺžky a času rovnakú hodnotu priestoročasového intervalu. To sa vo fyzike nazýva invariantnosť priestoročasového intervalu(teda rozny pozorovatelia v roznych sustavach nameraju rovnaku hodnotu intervalu-invariantnosť,nemennosť). Priestoročasový interval sa počíta takto:


Jedná sa o Pytagorovú vetu ,ale namiesto znamienka plus je tu znamienko mínus.To ,preto lebo znamienko plus je v Pytagorovej vete použitej  v Euklidovskej geometrii(geometria na rovine,klasická geometria) ,ale Einstein predpokladá zakrivenie časopriestoru(Einsteinova teória gravitácie-zakrivenie časopriestoru) ,preto sa vo výpočtoch súvisiacich s časopriestorom používa Lorentzová geometria(geometria na zakrivenej rovine, napr. geometria na povrchu Zeme-povrch Zeme je zakrivený) ,v kt. má Pytagorová veta tvar:

V Lorentzovej geometrii napr. nieje najkratšia dráha medzi dvoma bodmi priamka ,ale krivka. Lorentzova geometria teda može byť odpoveď na tvoju otázku. Ale nie som si istý. Prepáč za tú gramatiku a ak som niečo zle povedal.

Dekuju za odpoved. Jeste bych ten svuj dotaz upresnil.

Puvodne jsem se dozvedel na Aldebaranu, ze vztah mezi vzdalenosti, kterou teleso urazi v case a tou, kterou urazi v prostoru se ridi Pythagorovou vetou a proto jsem se to tak snazil pochopit.

Ma otazka se tykala vzorecku pro vypocet gamy, tedy 1/(1-v/c). To, ze  je tim vztahem a "rafinovane ukrytou" Pythagorovou vetou jsem si uvedomil, kdyz jsem si to rozkreslil. A jelikoz ma tvar a^2=c^2-b^2, myslel bych si, ze tomu tak skutecne je. Ale to se jenom domnivam.

Ty se zminujes o intervalu casoprostoru s^2=x^2-(ct)^2 a s'^2=x'^2-(ct')^2, kde tomu je obracene, tedy c^2=a^2-b^2 a kde potom s^2=s'^2. Nasel jsem si zakladni vzorec pro hypebolu, kterej tedy zni, ze x^2/a^2-y^2/b^2=1, takze vidim odkud to znamenko minus pochazi a je mi to tim tedy o trochu jasnejsi.

Taky jsem zjistil, ze dr.od. z (1-v^2/c^2)  je ve jmenovateli jenom ten hyperbolicky vztah pocetne vyjadrit a ten vzorec tedy neni dukazem, ze tomu tak je. Pises, ze Einstein se domnival, ze tomu tak bude kvuli zakriveni casoprostoru. Existuje o tom tedy konkretni dukaz anebo je to jenom predpoklad?

Protoze nejsem matematik nemuzu se poustet do Lorentzovy geometrie. Snazim se to tedy pochopit spis intuitivne.

Jelikoz ale zakladni Pythagorova veta v tom vypoctu figuruje, znamena to snad, ze jejim pouzitim se prijde k pribliznemu vysledku a k presnejsimu vypoctu je zapotrebi pocitat s hyperbolou a tou Lorentzovou geometrii?

↑ Zvedavec 4:
Ahoj. Tvrzení, že mínus ve výpočtu délky intervalu podle vztahu je tam kvůli zakřivenému časoprostoru je chybné. Je to dokonce naopak, ten vztah tak jak jsem ho napsal platí jen v STR, kde se předpokládá prostoročas plochý. Jakmile by se navíc mělo něco zakřivovat, je výpočet délky intervalu ještě o dost komplikovanější a vystupují v něm i nediagonální složky metrického tenzoru. Je ti tedy naprosto správně podezřelé, že ve vzorci pro gama faktor chybí údaj o poloze a hmotnostech okolních těles. Tuto informaci by v sobě právě nesl obecný metrický tenzor (nechme stranou, že ani tak není snadné jeho složky vypočítat).

Podle 4D Pythagorovy věty s plusy se interval nepočítá prostě proto, že taková veličina by nebyla invariantní vůči Lorentzově transformaci. To, co invariantní je je právě interval s takovými znaménky, jako jsem výše napsal. Příroda se zkrátka chová takhle, a ne nějak jinak. Jakou pro to člověk najde nebo nenajde geometrickou interpretaci je druhá věc. Možná interpretace je taková, že vše se neustále pohybuje rychlostí c. Nepohybující se předměty ve směru časové osy, pokud se navíc pohybují v prostoru, pohybují se pořád rychlostí c, akorát pod nějakým malým úhlem k časové ose - takže ten průmět rychlosti do směru času se tím zmenší. Vztah např. pro dilataci času takto odvodit jde, což asi i píšeš. Já osobně se ale snažím na STR dívat pouze v řeči Lorentzovy transformace a do geometrických představ se moc nepouštím. To nejzásadnější překvapení teorie relativity, totiž stálost rychlosti světla, to podle mně stejně nijak neosvětluje.

Pokud jde o ten dotaz jestli "to tak je". Tady si stačí přečíst nějaký historický úvod do STR. Einstein na základě jednoduchých předpokladů vysvětlil spoustu jevů, které do té doby nikdo nevysvětlil. Zatím nebyl proveden žádný experiment, který by dopadl jinak, než teorie předpovídá. Takže nakolik je nám známo, opravdu to tak je.

Dekuju, za odpovedi, LukasiM a Rughare. Jeste bych mel tenhle dotaz:

Precet jsem si toho dost o STR v poslednich dvou letech a tak o ni mam hodne informaci na uvazovani. Muzu rict, ze podstatu dilatace casu chapu v principu dost dobre a to prave presne tak, jak to tu popisujes a celkem diky tomu, ze jsem si to rozkreslil. Ale uvazoval jsem o tom a taky si to rozkreslil prave na zaklade P. vety, protoze mi na Aldebaranu bylo receno, ze to tak pracuje.

Docet jsem se, ze na pouhem zaklade tech dvou predpokladu STR, tedy principu relativity a stalosti rychlosti svetla, vyplynou vsechny ty jevy, o kterych se v ni jedna a o kterych mluvis, tedy dilatace casu, kontrakce delek a relativita soucasnosti a snad i dalsi. Vsechny tri celkem dobre chapu.

Myslim si, ze celkem spravne chapu tvuj vyrok, ze prestoze se v STR uvazuje  "jenom" s plochym prostorocasem, musi se pohyb casem a pohyb prostorem skladat pomoci minusu, protoze to jsou precijenom pohyby dvema rozdilnyma prostredima/skutecnostma/podstatama/ukazama, i kdyz jsou v pojeti STR neoddelitene tak jako elektricke a magneticke pole jsou dva ruzne projevy jednoho prirodniho ukazu, elektromagnetismu. A navic ty dva pohyby mezi sebou jaksi "souperi". Tady ale mluvis o vzorecku pro casoprostorovy interval , ktery je snad prave tim minusem invariantni, a protoze ma tvar vzorecku pro jednotkovou hyperbolu , by taky ten hyperbolicky prubeh mel napodobne nejak vyjadrovat. Celkem bych to chapal.

Ve snaze nejak pochopit pojeti STR jsem se ale soustredil na vypocet pro gamu. Protoze tak jako vzorecek pro ten interval, ktery ma tvar vzorce pro h., tak i jmenovatel ma tvar , tedy P.vety. Ten vlastni prepocet pro zmenu dilatace casu co se deje v ruznych souatvach STR, gama, je pak jenom prevracenou hodnotou ty P.vety a proto to tedy vypada, ze ta P.veta by mela mit nejake sve opodstatneni v matematice STR.

Kdyz si totiz nanesu na osu "x" nezavisle promenny hodnoty vzrustajici rychlosti pohybu prostorem a na osu "y" zavisle promenny hodnoty (bohuzel dost nepresne kvuli malemu rozdilu hodnot), dostavam klesajici krivku, o ktere by se mohlo rict, ze se podoba ctvrtce sinusovky. A podobne, kdyz na osu "y" nanesu hodnoty pro gamu, tedy krivka se tedy podoba hyperbole (jak by asi mela). Nevim, jestli existuje takovy nejaky prevraceny vztah mezi hyperbolou a sinusovkou, ale tady z toho to tak vypada. A to by pak ten zdanlivy rozpor celkem vysvetlovalo.

Puvodne jsem si myslel, ze to, ze ten prepocet gama zahrnuje prevracenou hodnotu zalezi  jenom na volbe nahledu, z jakeho se rozhodnem na vec divat a jeste pred tim nez jsem se rozhod zjistit, proc by ten prubeh zmeny v case mel opisovat prave hyperbolu.

Kdyz se totiz spocita, ze pri 259 807.621km/s je gama=2, tedy ze se cas cestovatele dilatuje 2x kvuli jeho rychlemu pohybu, tak to taky zaroven znamena, ze mu cas ubiha jenom polovicni rychlosti, protoze se taky navic pohybuje prostorem. Vypada to, ze prave v tomhle rozdilu vezi podstata zdanliveho rozporu mezi prubehem zmeny podle hypeboly anebo podle P.vety. Je to snad jen zmena dilatace, ktera ma ten h. prubeh, ale ne rychlost plynuti casu, protoze ta se da spocitat podle P.vety. A to proto, ze f(y)=1/x (jestli to pisu dobre, ze prevracene hodnoty z osy "x" nanesene na osu"y") nam da hyperbolu. Zda se to byt hlavolam, kde se rychlost plynuti casu, coz by byla normalni uvaha, nahradi uvahou o jeho dilataci.

Muzes tohle nejak okomentovat?

↑ Zvedavec 4:
Nikdo neodpovídá, tak jen můj pohled. Nejsem si úplně jistý, že chápu, o čem mluvíš a jaký problém se pokoušíš řešit. Řekl bych, že snaha všude hledat křivky podobné hyperbolám tě v pochopení STR nikam neposunou. Osobně bych se zaměřil  jiným směrem. Ale možná mám jen malou představivost.

Představa, že všechno co se někam blíží se tam musí blížit po hyperbole, je nesmysl. Tvar grafu bude totiž záviset na tom, co je nezávislá proměnná. Když už, vždy je to vztah mezi dvěma proměnnými, který může a nemusí být hyperbolický.


Někdo jiný třeba napíše víc. Jak říkám, já moc nevím, o co vlastně jde.

LukasM napsal(a):

↑ Zvedavec 4:

Představa, že všechno co se někam blíží se tam musí blížit po hyperbole, je nesmysl. Tvar grafu bude totiž záviset na tom, co je nezávislá proměnná. Když už, vždy je to vztah mezi dvěma proměnnými, který může a nemusí být hyperbolický.

Ma otazka je presny opak. A to, ze se mi zda, ze jedinym duvodem, proc se predpoklada, ze zmena casu ma prubeh hyperboly je zalozeno na tom, ze hmotne teleso nemuze nikdy dosahnout rychlosti "c", jen se ji donekonecna priblizovat, tedy jako se to deje s hyperbolou.

Ale predpokladam, nevim to urcite, ze jsou i jine krivky se stejnou vlastnosti a tedy chci vedet jestli se takovy zrychlujici teleso nemuze priblizovat rychlosti "c" i po jine krivce.

Ciste nicim nepodlozena zvedava uvaha. Snad ani nestoji za odpoved!

↑ LukasM: 

rughar napsal(a):

↑ Zvedavec 4:

.......Oba měří různý čas, ale na hodnotě jistého výrazu se všichni musí shodnout. A tomu jistému výrazu se pak začalo říkat prostoročasový interval. To je tedy původ tedy toho mínusového znaménka a pokud hledáme křivku, pro kterou je hodnota prostoročasového intervalu konstantní, dostaneme například rovnici hyperboly.

Tenhle Rugharuv predchozi prispevek to snad vysvetluje, ale je to to "napriklad", ktere to taky castecne zpochybnuje. Jelikoz hyperbola se donekonecna priblizuje urcite mezi (asymptote) muze to svadet spojovat si dusledek TR, ze rychlost hmotneho telesa se zrovnatak muze jenom donekonecna priblizovat rychlosti "c", s hyperbolickym prubehem.

Tedy, ze kdyby jsme si nanesli na osu "x" rychlost pohybu telesa po rovnomernych stupnich a na osu "y" vysledny vypocet jim odpovidajicimu narustu hmotnosti, dostali bychom hyperbolu. Ale to nemuze byt zalozeno na praktickych pokusech, ale jenom na predpokladu, si myslim.

A podobne tedy vynesenim na osu "y" zmenu rychlosti plynuti casu anebo odpovidajici prubeh zkraceni vzdalenosti, tedy hodnoty gamy, dostanem taky hyperbolu. Jenze v tomhle pripade je ta hyperbola vysledkem prevraceny hodnoty, tedy Pythagorovy vety umistene ve jmenovateli, a tudiz se to nemuze brat coby dukaz, ale jenom coby prizpusobeni predpokladu, ze to tu h. ma popisovat. Alespon tak bych to chapal.

Otazka v podstate znela, jak se doslo k tomu, ze tyhle prubehy budou sledovat zrovna hyperbolu a ne treba jinou krivku s podobnou vlastnosti, tedy ze se taky priblizuje donekonecna jiste mezi. Domnivam se totiz, ze i jiny takovy krivky existujou a neco mi rika, ze napr. exponenciala by mohla byt jednou z nich.

Jelikoz tam totiz Rughar pouziva sluvko "napriklad" vypada to, ze ten prubeh zmeny muze sledovat i jinou krivku. Na takovou informaci jsem  ale nikde nenarazil.

Neni to takovymhle sbiranim kousku informaci a tvorenim postupne celkoveho obrazu, ze se clovek dopidi pochopeni nejake teorie jakou je treba TR?

rughar napsal(a):

↑ Zvedavec 4:

To je tedy původ tedy toho mínusového znaménka a pokud hledáme křivku, pro kterou je hodnota prostoročasového intervalu konstantní, dostaneme například rovnici hyperboly.

Zvedavec_4 napsal(a):
jak se doslo k tomu, ze tyhle prubehy budou sledovat zrovna hyperbolu

LukasM napsal(a):
Nesledují hyperbolu, jediný kdo k tomu došel, jsi ty.

Zajimavy. Ale mam k tomu alespon dva duvody:

1) Rughar se zda presne tohle vysvetlovat.

2) V "Einstein for Everyone" na samym konci casti nazvany "Spacetime" s podtitulkem "Minkowski Spacetime Geometry", netvrdi se prave to, ze s narustajici rychlosti pohybu prostorem opisuje narustajici dilatace casove jednotky, napr. 1-ne hodiny, prave hyperbolu?

A neznamena to, ze cim rychlejs raketa poleti (primocarymi narusty rychlosti) tim pomaleji jeji cas poplyne a to zpomaleni se nebude dit linearne (primocare)?

Takhle bych tomu rozumnel a jestli to tak neni, mohl bys to tedy vysvetlit, jak to je?

Jinymi slovy, jak se jeji rychlost zvetsuje, treba po 10 000km/s, tedy dejme tomu kazdou hodinu na zemi zrychli o 10 000km/s, tedy linearni narust jeji rychlosti a linearni narust casu na Zemi, zpomaleni jejich hodin, cili dilatace jejiho casu, nebude linearni, ale bude se dit po hyperbole?

Netvrdim, ze vim presne, o co jde, protoze to je zaroven celkem okrajovy efekt STR, ale taky dost klicovy k jejimu detajlnimu pochopeni, protoze to je ta slavna tzv. Minkovskeho, nebo-li snad hyperbolicka, geometrie prostorocasu, tedy jak se casoprostor chova.

Protoze napr. ten znamy interval casoprostoru je tzv.invariabilni prave tim, jak bych to intuitivne chapal, ze s narustajici rychlosti se vzajemny pomer prostoru a casu zkresluje prave snad v hyperbolicke zavislosti, kdyz tedy ne v zavislosti podel Pythagorovy vety? Tedy to . Tedy, cim dal se premistim v prostoru za jednotku casu, tim min se premistim v case (tim min casu mi uplyne, tedy tim vetsi dilatace ovlivni me plynuti casu)?

A neni to toto forum, co mne informuje o tom, ze se to nedeje v zavislosti na Pythagorove vete ale po hyperbole? Atd.....

Nebo snad ne?

LukasM napsal(a):

↑ Zvedavec 4:

Zvedavec_4 napsal(a):

a ne treba jinou krivku s podobnou vlastnosti, tedy ze se taky priblizuje donekonecna jiste mezi.

Ano, třeba křivka má tu vlastnost, viz graf.

Diky za odkaz ke grafu. Stejna krivka (jak jinak) me vysla, kdyz jsem si vynes podobny hodnoty na ctvereckovanej papir.

Ty krivky na tom grafu, tedy ty modry s cervenyma, vypadaj jako jednotkovy hyperboly s posunutym stredem doleva a doprava. Tedy "Real Part" modra vpravo, je protejsek "Imaginary Part" cerveny taky vpravo atd. Tipoval bych si, ze ta modra cast znazornuje obycejnou geometrii a ta cervena,protoze je v minusu, Minkovskeho hyperbolickou geometrii. Kdyz je chci zvetcit, chtej penize, takze se nebudu poustet do pokusu si overit jestli opravdu jsou, ale skoro urcite jsou. Co tim mas na mysli ale nechapu. Jak uz jsem rek, nejsem mtematik. 

Tady uplatnuju uplnej zaklad znalosti a to, ze obracena hodnota cisel vynesenych na osu "y", tedy vcetne spocitanych hodnot Pthagorovy vety, vuci jejim skutecnym(neprevracenym) hodnotam vynesenych na osu "x" nam da jednotkovou hyperbolu, ktera je zakladem Minkovskeho diagram a tudiz jeho geometrie, v niz asymptoty znazornuji svetelny kuzel nejake udalosti, ktere se diskuse tyka.

Jelikoz ty asymptoty jsou zaroven trasou fotonu, tedy nositelem toho svetelneho kuzelu te udalosti, jakykoliv casovy okamzik jakehokoliv pohybu telesa uvnitr toho kuzelu bude zrejme lezet na hyperbole, protoze cas to teleso unasi, a tim jim ten kuzel protina, soubezne s jeho podelnou osou. Takze vztah plynuti casu v ruznych soustavach se meni po hyperbole. Ale ty to popiras a kvuli neznalosti vyssi matematiky tedy nejspis nepochopim co se tou hyperbolou mysli.

To je mozna ten princip, ale zda se to byt dost pritazeny za vlasy.

S tim musim vystacit.