Matematické Fórum

PlusPlusPlus · 08. 08. 2017 19:09

Ahojte,

Dostupné informace jsem čerpal z těchto zdrojů: https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_ … econd_kind a https://en.wikipedia.org/wiki/Bell_number

Dokázal by mě někdo vysvětlit, co nás vede k tomu definovat ${0 \brace 0}=1$ ; $B_0=1$ ? Nenacházím v tom žádnou matematickou logiku. Osobně bych pro Stirlingovo číslo druhého druhu zavedl definici: ${0 \brace 0}=0$ . Tato definice se mě jeví srozumitelnější.

Předem děkuji za Vaše reakce.

jarrro · 08. 08. 2017 19:43

Koľkými spôsobmi rozdelíš prázdnu množinu na nula častí? Zrejme jedným. nič nebudeš robiť

PlusPlusPlus

↑↑ jarrro:

Ahoj,

když nebudu nic dělat, tak přece $0\neq 1$ ??? Má tedy zavedená definice pouze kosmetický jazykový význam, bez dalšího matematického využití?

PlusPlusPlus · 09. 08. 2017 11:34

Ahoj,

zřemě jsem zvolil nezajímavé téma. Pokud to ještě rozvedu a pokud se nemýlím, tak si dovolím tvrdit: Rozdělení jakékoliv množiny na nula částí, lze provést 0 způsoby. Tvrzení platí i o prázdné množině: ${0 \brace 0}=0$ .
Podle mého názoru, jsou definice v obou těchto konkrétních případech, ${0 \brace 0}=1$ ; $B_0=1$ , nepravdivé a naprosto zbytečné. Není důvod zavádět definice, protože jsou oba případy odvoditelné. Smutné je, že se definice zapracovaly i do většiny vzorců, uvedených v odkazech. Tím se obtížně rozpoznává, že se jedná o nesmysly, dogmata, kulturní vzory. Pozitivní je, že to lze opravit.

misaH · 09. 08. 2017 11:36

↑ PlusPlusPlus:

Jasné, pán Najmúdrejší - opravíme všetko...

Rumburak · 09. 08. 2017 13:32

↑ PlusPlusPlus:

Ahoj. Neudělat nic má také svůj výsledek, proto se započítává.

PlusPlusPlus · 09. 08. 2017 22:35

Ahojte,
děkuji za reakce.
Hele, rozšiřte si platnost Stirlingových čísel druhého druhu a Bellových čísel do množiny reálných čísel. Potom si vypočítejte $B_0$ a ${0 \brace 0}$ . Kouzlo je v tom, že není zapotřebí tyto hodnoty definovat, hodnoty lze vypočítat.

Aby bylo mé uvažování srozumitelné, opravil jsem základní vzorce tak, aby byly platné i v množině R. Tedy vyvinul jsem úsilí, abych Vám předložil něco nového. Opravené vzorce naleznete zveřejněné zde:
http://plusplusplus.netstranky.cz/bello … cisla.html
Poté můžete analyzovat chyby v mém uvažování.

jarrro · 10. 08. 2017 04:58 — Editoval jarrro (10. 08. 2017 05:07)

↑ PlusPlusPlus:tú jednu možnosť ako to rozdeliť predsa máš - vôbec nič nedeliť
Rovnako ako počet ekvivalencií. Jednu ekvivalenciu predsa na prázdnej množine máš a to prázdnu .
Je to preto, lebo výroky $$\forall x\in \emptyset$$V{\(x$}\)$ Sú pravdivé pre ľubovoľnú výrokovú formu V

misaH · 10. 08. 2017 08:49 — Editoval misaH (10. 08. 2017 08:51)

↑ jarrro:

:-)

Zbytočné...

Mňa zaujalo spojenie "zlá (chybná) definícia".

Rumburak · 10. 08. 2017 11:28

↑ PlusPlusPlus:

Ahoj.

Nic proti Tvé konstrukci (pokud ona tvrzení vyslovená v onom článku umíš korektně dokázat,
jak se od autora nové teorie očekává).

Avšak čísla získaná touto Tvojí konstrukcí bys neměl nazývat čísly Bellovými ani Stirlingovými,
protože ta už nějak zavedena jsou a měnit definice by vedlo k chaosu. Pokud se Tvá konstrukce
ukáže jako matematicky plodná, pak její plody možná někdo nazve na Tvoji počest čísly
PlusPlusPlusovými (prvního, druhého či třetího druhu) a v učebnicích se pak budou dokazovat
PlusPlusPlusovy věty o vztazích mezi čísly PlusPlusPlusovými a Bellovými či Stirlingovými.
Tak je to v matematice zavedeno a většině matematiků to tak vyhovuje.

PlusPlusPlus · 10. 08. 2017 11:47

Ahojte,
jestli Vás neunavuje diskutovat na toto téma, pojďme analyzovat.
Začnu 8a)
Souhlasíte s tím, že po rozšíření do množiny R platí ? :
$\sqrt 5= 5^{1/2}=\Large \sum_{k=1}^5 {\frac 12 \brace k}\cdot 5^{\underline k}=\Large \sum_{k=1}^5 \frac {1}{k!} \cdot \sum_{j=1}^k (-1)^{k-j} \binom{k}{j} j^{\frac 12 }\cdot \prod_{p=1}^{k}(6-p)=2,236067...$
$11^{\pi}=\Large \sum_{k=1}^{11} {\pi \brace k}\cdot 11^{\underline k}=\Large \sum_{k=1}^{11} \frac {1}{k!} \cdot \sum_{j=1}^k (-1)^{k-j} \binom{k}{j} j^{\pi }\cdot \prod_{p=1}^{k}(12-p)=1869,096...$
$21^{-\frac 13}=\Large \sum_{k=1}^{21} {-\frac 13 \brace k}\cdot 21^{\underline k}=\Large \sum_{k=1}^{21} \frac {1}{k!} \cdot \sum_{j=1}^k (-1)^{k-j} \binom{k}{j} j^{-\frac 13 }\cdot \prod_{p=1}^{k}(22-p)=0,362460...$

Souhlasíte s tím, že platí obecně:
$n\in\mathbb{N}\wedge i\in\mathbb{R}\wedge n^{i}=\Large \sum_{k=1}^n {i \brace k}\cdot n^{\underline k}=\Large \sum_{k=1}^n \frac {1}{k!} \cdot \sum_{j=1}^k (-1)^{k-j} \binom{k}{j} j^{i }\cdot \prod_{p=1}^{k}(n+1-p)$

Pokud nesouhlasíte, tak uveďte konkrétní důvod co Vás k tomu vede.

PlusPlusPlus

↑↑ Rumburak:
Zdravím,
proč se domníváš, že se již nejedná o Bellova čísla a Stirlingova čísla druhého druhu? Jde přece o jejich zobecnění do množiny R. Viz např. analogie kombinačních čísel: https://cs.wikipedia.org/wiki/Kombina%C … D%C3%ADslo

Zobecněný vzorec Bellových čísel je potom:
$x\in\mathbb{R}\wedge B_x=\Large \sum_{k=1}^{\infty} {x \brace k}$
Platnost Bellových čísel je přece zachována v množině N:
$(x=6) \Rightarrow B_6=\Large \sum_{k=1}^{\infty} {6 \brace k} = \Large \frac {1}{k!} \cdot \sum_{j=1}^k (-1)^{k-j}\binom{k}{j} j^{6} = 203$
$(x=9) \Rightarrow B_9=\Large \sum_{k=1}^{\infty} {9 \brace k} = \Large \frac {1}{k!} \cdot \sum_{j=1}^k (-1)^{k-j}\binom{k}{j} j^{9} = 21147$
jenom je rozšířena do R
$(x=\pi) \Rightarrow B_\pi=\Large \sum_{k=1}^{\infty} {\pi \brace k} = \Large \frac {1}{k!} \cdot \sum_{j=1}^k (-1)^{k-j}\binom{k}{j} j^{\pi} = 5,7829...$

Rumburak

↑ PlusPlusPlus:

V ↑ PlusPlusPlus: uvádíš, že chceš definici symbolu $n \brace k$ zavést tak, aby místo ${0 \brace 0} =1$
vycházelo ${0 \brace 0}=0$ .
Celkově tedy jde o změnu definice, nikoliv jen o její rozšíření. Že změna se možná (Tvůj výpočet
jsem nekontroloval) vztahuje pouze k tomuto jedinému případu, není podstatné.

Ono zobecnění kombinačních čísel mi v souvislosti s případem "jinak" v původní definici kombinačních
čísel rovněž připadá problematické. Osobně bych se přikláněl k variantě v původní definici se případu
"jinak" vyhnout.

Jsou to ale jen úvahy "nad matemetikou". V praxi by to mělo fungovat tak, že autor knihy či článku
v úvodu shrne definice pojmů, z nichž v dalším bude vycházet, pokud by se odchylovaly od "vžité
normy" či pokud by mohlo hrozit nějaké nedorozumění.

misaH · 10. 08. 2017 14:31

↑ PlusPlusPlus:

Nerozumieš pojmu definícia.

PlusPlusPlus · 10. 08. 2017 15:08

↑↑ misaH:
Zlá, chybná definice samozřejmě neexistuje. Je otázkou, jak každý vnímáme matematiku.
Dle mého osobního názoru, by mělo být snahou mít axiomů a definic co nejméně. Co vlastně matematikou popisujeme ? Pravdy, nebo naše přání? Tedy popisujeme jevy takové jaké jsou, nebo takové, jaké si přejeme, aby byly? Hle, je to hodně filozofické a idividuální. Já to vnímám tak, jak to vnímám. Domnívám se, že trochu kritiky matematice neuškodí, hlavně pokud to má nějakou logiku. Možná ji v tom někdo nenalezne, tak už to ale chodí. Není mým cílem někoho urážet. Chci na dané téma vyvolat diskuzi, vážím si každého názoru. S manželkou si o tom mooc nepovídáme, tak předkládám moje názory k diskuzi zde.

Přiznávám, že jsem k některým tématům matematicky skeptický. Ukazuji jinou, možnou cestu. V tomto konkrétním případě, jsem definicím neuvěřil, nenutí mě k tomu žádný důkaz. Protože je nepotřebuji. Definiční hodnoty získám snadno, jsou odvoditelné implikací reálných proměnných. Vnímám to pouze jako speciální případ implikace, nějakého reálného čísla. Tedy nevidím v tom nic mimořádného, co by si definici zasloužilo. Že tyto definiční hodnoty nepasují do teorie množin, to je mě vcelku jedno. Pitvám jiné vzorečky a jejich zobecnění do R.

Na druhou stranu, nepřijímat definice má i svoje výhody. Nic mě nesvazuje, nemám před sebou žádné etalony, nedělá mě problém kompletně změnit názor na cokoliv.

misaH · 10. 08. 2017 20:21 — Editoval misaH (10. 08. 2017 20:22)

↑ PlusPlusPlus:

...

Proste nechápeš - no ale tvoja vec.

PlusPlusPlus · 10. 08. 2017 22:08

↑↑ misaH:
Ahoj,
Stirl. číslo druhého druhu je definicí stanoveno takto: $n \in\mathbb{N} \wedge {n \brace k} = \frac {1}{k!} \cdot \sum_{j=0}^k (-1)^{k-j}\binom{k}{j} j^{n} \wedge {0 \brace 0}=1$
Rozšířené Stirling. číslo druhého druhu jsem definicí stanovil takto: $x \in\mathbb{R} \wedge {x \brace k} = \frac {1}{k!} \cdot \sum_{j=1}^k (-1)^{k-j}\binom{k}{j} j^{x}$

Protože je množina přirozených čísel podmnožinou množiny čísel reálných, tak celou dobu tvrdím, že je původní definice Stirlingových čísel druhého druhu nesmyslná a má se opravit na tuto definici: $n\in \mathbb{N} \wedge {n \brace k} = \frac {1}{k!} \cdot \sum_{j=1}^k (-1)^{k-j}\binom{k}{j} j^{n} \wedge {0 \brace 0}=0$
Důvod je ten, že každé Stirlingovo číslo číslo druhého druhu, lze získat jako funkční hodnotu po dosazení proměnné $x$ do vztahu definovaného pro rozšířená Stirlingova čísla druhého druhu. Ano, dochází ke změně u prázdné množiny.

Dle mého názoru, nemají nesmysly v matematice co dělat. Matematika je buď OK, nebo obsahuje chyby. Chyby se mají opravovat, proto jsem přesvědčen o nutnosti opravy původní nesmyslné definice a zachování dvou definic: opravené a rozšířené. Nevím jak tedy uvažuješ. Mají být dle Tvého názoru zachovány všechny tři definice? Nebo jsem nepochopil ještě něco jiného? Můžeš rozvést, myšlenky fakt nedokážu číst.

PlusPlusPlus · 10. 08. 2017 22:29

PlusPlusPlus napsal(a):
↑↑ misaH:
Ahoj,
Stirl. číslo druhého druhu je definicí stanoveno takto: $n \in\mathbb{N} \wedge {n \brace k} = \frac {1}{k!} \cdot \sum_{j=0}^k (-1)^{k-j}\binom{k}{j} j^{n} \wedge {0 \brace 0}=1$
Rozšířené Stirling. číslo druhého druhu jsem definicí stanovil takto: $x \in\mathbb{R} \wedge {x \brace k} = \frac {1}{k!} \cdot \sum_{j=1}^k (-1)^{k-j}\binom{k}{j} j^{x}$

Protože je množina přirozených čísel podmnožinou množiny čísel reálných, tak celou dobu tvrdím, že je původní definice Stirlingových čísel druhého druhu nesmyslná a má se opravit na tuto definici: $n\in \mathbb{N} \wedge {n \brace k} = \frac {1}{k!} \cdot \sum_{j=1}^k (-1)^{k-j}\binom{k}{j} j^{n} \wedge {0 \brace 0}=0$ nebo $n\in \mathbb{N}_{0} \wedge {n \brace k} = \frac {1}{k!} \cdot \sum_{j=1}^k (-1)^{k-j}\binom{k}{j} j^{n}$
Důvod je ten, že každé Stirlingovo číslo číslo druhého druhu, lze získat jako funkční hodnotu po dosazení proměnné $x$ do vztahu definovaného pro rozšířená Stirlingova čísla druhého druhu. Ano, dochází ke změně u prázdné množiny.

Dle mého názoru, nemají nesmysly v matematice co dělat. Matematika je buď OK, nebo obsahuje chyby. Chyby se mají opravovat, proto jsem přesvědčen o nutnosti opravy původní nesmyslné definice a zachování dvou definic: opravené a rozšířené. Nevím jak tedy uvažuješ. Mají být dle Tvého názoru zachovány všechny tři definice? Nebo jsem nepochopil ještě něco jiného? Můžeš rozvést, myšlenky fakt nedokážu číst.

Pavel · 10. 08. 2017 22:37

↑ PlusPlusPlus:

Diskusi sleduji povrchně, takže mi asi něco uniklo. Proto možná hloupá otázka, proč je ta druhá suma indexována od 1, když v původní definici se suma indexuje od nuly?

misaH · 11. 08. 2017 07:04 — Editoval misaH (11. 08. 2017 07:45)

↑ PlusPlusPlus:

Je 0 prirodzené číslo?

+ prečítaj si príspevky k tvojmu $a^0$ .

PlusPlusPlus

↑↑ Pavel:

Ahoj,
Pokud chci rozšířit platnost do R, tak chci aby platilo např. toto:
$21^{-\frac 13}= \sum_{k=1}^{21} {-\frac 13 \brace k}\cdot 21^{\underline k}= \sum_{k=1}^{21} \frac {1}{k!} \cdot \sum_{j=1}^k (-1)^{k-j} \binom{k}{j} j^{-\frac 13 }\cdot \prod_{p=1}^{k}(22-p)=0,362460...$

Pokud budu indexovat sumu od nuly, tedy $j=0$ , tak dostanu výraz $j^{-\frac 13 } = 0^{-\frac 13 }=\frac {1}{ 0^{\frac 13 }} = \frac 10$ , což je dělení nulou, což není v matematice přípustné.

Ještě doplním informaci, že pokud budeš indexovat sumu od jedničky a budeš pracovat v množině přirozených čísel, tak obdržíš úplně stejnou tabulku hodnot Stirling. čísel druhého druhu, které jsou uvedeny na wikipedii. Jediný rozdíl bude ve výsledku hodnoty ${0\brace 0}$ .
Pokud budeš tedy indexovat sumu od jedničky, hodnotu tohoto čísla získáš výpočtem, bude mít hodnotu nula. Počet způsobů rozdělení každé (prázdné i neprázdné) množiny na nula částí bude shodně 0.
Pokud budeš indexovat sumu od nuly, hodnotě tohoto čísla budeš muset uvěřit, je definitoricky určena a má hodnotu jedna. Počet způsobů rozdělení každé neprázdné množiny na nula částí bude 0. Počet způsobů rozdělení prázdné množiny na nula částí bude 1.

↑↑ misaH:
Ahoj,
nula není přirozené číslo.
Vím co jsem psal ke zmiňovanému příspěvku, ale nerozumím, jak to spolu souvisí. Nenašel jsem spojitost. Můžeš to rozvést?

misaH · 11. 08. 2017 15:20 — Editoval misaH (11. 08. 2017 15:23)

↑ PlusPlusPlus:

Lenže ty platnosť nerozširuješ. Ak by tak bolo, všetky pôvodné vlastnosti by museli zostať pre pôvodné čísla zachované. A to sa nestalo.

To je tá základná vec.

V jednom svojom príspevku pre a na 0 si konštatoval, že chápeš problematiku definícií - kolega check_drummer ti to podrobne vysvetľoval. Podľa tvojich vraj vedeckých záverov (bez dôkazov - hehe) ale vidno, že to tak nie je...

No a z mojej strany - stačilo. Ži si a opravuj matematické definície.

Vieš o tom, že niekedy sa aj 0 ráta za prirodzené číslo?

PlusPlusPlus

↑↑ misaH:
Ano, kolega check_drummer mě vysvětlil definici ${a^0=1}$ pro nenulové $a$ , já jsem tuto definici pochopil a přijal. Nerozumím tomu, proč bych měl současně s tímto přijmout definici ${0^0=1}$ .
Už dříve jsem psal, že např. binomickou větu můžu zapsat ve tvaru: $(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k }\prod_{p=1}^{n-k} (x) \prod_{r=1}^{k}(y)$ . Proto raději využiju korektní prázdný součin $\prod_{r=1}^{0}(cokoliv) = 1$ , než abych v tomto případě uvěřil tomu, že je pro mě výraz ${0^0=1}$ nepostradatelný. Vůbec ho v tomto případě nepotřebuji definovat, a je mě úplně jedno,čemu se to rovná.
Proč bych měl i v případě Stirling. čísel dr.druhu uvěřit tomu, že je pro mě výraz ${0^0=1}$ taktéž nepostradatelný? ${0\brace 0}= \frac {1}{k!} \cdot \sum_{j=0}^0 (-1)^{k-j} \binom{k}{j} 0^{0}=1$
Víš o tom, že se někdy používá tato definice ${0^0=0}$ ? Zkus si ji aplikovat v tomto případě. Hehe, obdržíš stejný výsledek jako já. ${0\brace 0}= \frac {1}{k!} \cdot \sum_{j=0}^0 (-1)^{k-j} \binom{k}{j} 0^{0}=0$

Raději však využiju korektní prázdný součet $\sum_{j=1}^0 (cokoliv)=0$ , a zmíněnou hodnotu korektně spočítám z opravené definice ${0\brace 0}= \frac {1}{k!} \cdot \sum_{j=1}^0 (-1)^{k-j} \binom{k}{j} 1^{0}=1 \cdot 0 = 0$

Pavel · 11. 08. 2017 22:58 — Editoval Pavel (11. 08. 2017 23:26)

↑ PlusPlusPlus:

Nerozumím tomu, proč bych měl současně s tímto přijmout definici ${0^0=1}$ .

Proč ne? Když to plyne z binomické věty

$0^0=(1-1)^0=\sum_{k=0}^0\binom{0}{k}1^{0-k}\cdot(-1)^k=\binom{0}{0}1^0\cdot(-1)^0=1$

Nebo chceš předefinovat i kombinační číslo $\binom{0}{0}$ ?

Matematické Fórum

#1 08. 08. 2017 19:09

Stirlingovo číslo druhého druhu, Bellovo číslo - definice

#2 08. 08. 2017 19:43

Re: Stirlingovo číslo druhého druhu, Bellovo číslo - definice

#3 08. 08. 2017 20:29 — Editoval PlusPlusPlus (08. 08. 2017 20:39)

Re: Stirlingovo číslo druhého druhu, Bellovo číslo - definice

#4 09. 08. 2017 11:34

Re: Stirlingovo číslo druhého druhu, Bellovo číslo - definice

#5 09. 08. 2017 11:36

Re: Stirlingovo číslo druhého druhu, Bellovo číslo - definice

#6 09. 08. 2017 12:48 — Editoval Marian (09. 08. 2017 12:50) Příspěvek uživatele Marian byl skryt uživatelem Marian. Důvod: Ztráta času... Toto vlákno pro mě nemá cenu.

#7 09. 08. 2017 13:32

Re: Stirlingovo číslo druhého druhu, Bellovo číslo - definice

#8 09. 08. 2017 22:35

Re: Stirlingovo číslo druhého druhu, Bellovo číslo - definice

#9 10. 08. 2017 04:58 — Editoval jarrro (10. 08. 2017 05:07)

Re: Stirlingovo číslo druhého druhu, Bellovo číslo - definice

#10 10. 08. 2017 08:49 — Editoval misaH (10. 08. 2017 08:51)

Re: Stirlingovo číslo druhého druhu, Bellovo číslo - definice

#11 10. 08. 2017 11:28

Re: Stirlingovo číslo druhého druhu, Bellovo číslo - definice

#12 10. 08. 2017 11:47

Re: Stirlingovo číslo druhého druhu, Bellovo číslo - definice

#13 10. 08. 2017 12:04 — Editoval PlusPlusPlus (10. 08. 2017 14:21)

Re: Stirlingovo číslo druhého druhu, Bellovo číslo - definice

#14 10. 08. 2017 14:24 — Editoval Rumburak (10. 08. 2017 14:30)

Re: Stirlingovo číslo druhého druhu, Bellovo číslo - definice

#15 10. 08. 2017 14:31

Re: Stirlingovo číslo druhého druhu, Bellovo číslo - definice

#16 10. 08. 2017 15:08

Re: Stirlingovo číslo druhého druhu, Bellovo číslo - definice

#17 10. 08. 2017 20:21 — Editoval misaH (10. 08. 2017 20:22)

Re: Stirlingovo číslo druhého druhu, Bellovo číslo - definice

#18 10. 08. 2017 22:08

Re: Stirlingovo číslo druhého druhu, Bellovo číslo - definice

#19 10. 08. 2017 22:29

Re: Stirlingovo číslo druhého druhu, Bellovo číslo - definice

PlusPlusPlus napsal(a):

#20 10. 08. 2017 22:37

Re: Stirlingovo číslo druhého druhu, Bellovo číslo - definice

#21 11. 08. 2017 07:04 — Editoval misaH (11. 08. 2017 07:45)

Re: Stirlingovo číslo druhého druhu, Bellovo číslo - definice

#22 11. 08. 2017 11:32 — Editoval PlusPlusPlus (11. 08. 2017 14:15)

Re: Stirlingovo číslo druhého druhu, Bellovo číslo - definice

#23 11. 08. 2017 15:20 — Editoval misaH (11. 08. 2017 15:23)

Re: Stirlingovo číslo druhého druhu, Bellovo číslo - definice

#24 11. 08. 2017 19:19 — Editoval PlusPlusPlus (12. 08. 2017 10:17)

Re: Stirlingovo číslo druhého druhu, Bellovo číslo - definice

#25 11. 08. 2017 22:58 — Editoval Pavel (11. 08. 2017 23:26)

Re: Stirlingovo číslo druhého druhu, Bellovo číslo - definice

Zápatí