Matematické Fórum

comantelix · 11. 08. 2017 19:33

Dobrý den, chtěl bych požádat o radu s řešením několika příkladů. Předem děkuji za pomoc s řešením.
1)Osvětlovací těleso tíže 5kp je zavěšené v jednom bodě na třech stejně dlouhých závěsech ve vrcholech rovnostranného trojúhelníku se stranou o délce 60cm, ve vzdálenosti 1m od stropu. Jakou silou jsou napínané jednotlivé závěsy? (správné řešení 3.06kp)
2)Na niti s délkou l je zavěšena koule s velmi malým poloměrem. Jakou rychlost ve vodorovném směru je třeba udělit kouli, aby se dostala až do své nejvyšší polohy? (řešení: $v_{0}=\sqrt{5gl}$ )

Jak jsem řešil:
1)Představil jsem si osvětlovací těleso visící na trojbokém jehlanu ABCZ výšky 1m , podstavou je trojúhelník ABC na rovině stropu. Rozhodl jsem se rozložit tíhu tělesa v rovině ATZ mezi závěs AZ a imaginární závěs IT (jeho napětí se rozdělí mezi CZ a BZ).
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-08/71699_COMuloha1.jpg
Potom jsem řešil pomocí sinové a kosinové věty (rozklad síly na rovnoběžník), ale správného výsledku jsem se nedobral.

2)V každém bodě opisované půl-kružnice kuličku zpomaluje tečná (ke kružnici) složka g, tj. $g_{t_{i}}$ pro každý bod i půl-kružnice , pokus se složí tečné složky všech bodů horní a dolní čtvrtiny půl-kružnice je možné považovat $g_{t}=g/2$ . V nejnižší pozici je $a_{0}, v_{0}$ , v pozici "3 hodiny" je $a_{1}, v_{1}$ a v nejvyšší pozici je $a_{2}, v_{2}$ . potom platí:
$a_{0}-g=a_{2}+g$
$\frac{v_{0}^{2}}{l}-\frac{v_{2}^{2}}{l}=2g$
a z výše zmíněného:
$v_{2}=v_{0}-\frac{g}{2}t$
Pokud se snažím t vyjádřit jako:
$\frac{2\pi l}{2}=v_{0}t-0.5*\frac{g}{2}t^{2}$
nevím jak eliminovat $\pi$

Jj · 11. 08. 2017 20:08

↑ comantelix:

Zdravím.

K druhému příkladu bych řekl:

- v horní poloze musí mít kulička nejméně takovou rychlost, aby se její odstředivé zrychlení a gravitační zrychlení právě vyrušilo,
- hledanou rychlost kuličky v dolní poloze pak určit jednoduše pomocí zákona zachování mechanické energie.

comantelix

↑ Jj:
Děkuji za rychlou odpověď. Vaše řešení je nepoměrně jednodušší a funkční.

(pro případné čtenáře vlákna:
$a_{odstrediva_{2}}=g$
$\frac{v_{2}^{2}}{l}=g$
$E_{k0}=E_{k2}+E_{p2}$
$0.5*mv_{0}^{2}=0.5*mv_{2}^{2}+mg(\Delta h)$
$v_{0}^{2}=gl+2g(2l-0)$
$v_{0}=\sqrt{5gl}$ )

LukasM · 12. 08. 2017 17:22

↑ comantelix:
K tomu prvnímu příkladu. Jsem si celkem jistý, že udávaný výsledek není správně. Dvěma nezávislými postupy mi vyšlo asi 1,764 kp. I vzhledem k té geometrii je ta udávaná síla kravsky velká, člověk by nečekal o moc větší výsledek, než je třetina tíhové síly.

První způsob je dopočítání toho tvého (vše co je na papíře je správně), druhý způsob je elegantnější a rychlejší a opírá se také o zákon zachování energie. Je to tzv. princip virtuální práce, spočítá v tom, že si představíš, že těleso kleslo o nějakou malou vzdálenost $dv$ , takže tíhová síla vykoná práci $mg\cdot dv$ . Tato práce musí být stejná, jako práce $3T\cdot ds$ , kde T je napínací síla lana a ds vzdálenost, o kolik se lano prodlouží. Pak se úloha redukuje na nalezení vztahu mezi dv a ds. Umět derivovat je možná vhodné, ale ne nutné - stačí si uvědomit, že si představuju malý posun a členy $(dv)^2$ a $(ds)^2$ budou zanedbatelné.

comantelix · 12. 08. 2017 20:55

↑ LukasM:
↑ Jj:
Díky, druhý způsob řešení je skutečně rychlejší a dosud jsem ho neznal.
O knize, ze které příklady pocházejí (Dionýs Ilkovič - Fyzika) jsem nabyl pochybností když jsem se dostal k dalším příkladům, u kterých jsem si jist že je buď chybné "správné řešení" nebo je chyba v zadání (nesrozumitelnost).
Například úloha :
V čase $t=0$ bylo vyhozeno svisle vzhůru těleso rychlostí $v_{0}$ . V čase $t=t_{0}$ za ním bylo vyhozeno druhé těleso stejnou rychlostí.
Určete čas a výšku kdy se tělesa srazí. "Správné řešení": $t=\frac{v_{0}}{g}+\frac{t_{0}}{2}, h=\frac{v_{0}^{2}}{2g}-\frac{gt_{0}^{2}}{8}$
Řešil jsem:
čas výstupu do max. výšky tělesa 1 = $t_{1}=\frac{v_{0}}{g}$
max. výška = $h_{max}=\frac{v_{0}^{2}}{2g}$
existují tři možnosti:
A) $t_{1}=t_{0}$
B) $t_{1}<t_{0}$
C) $t_{1}>t_{0}$

A)
$h_{max}=\frac{v_{0}^{2}}{2g}=(0.5*gt_{2}^{2})+(v_{0}t_{2}-0.5*gt_{2}^{2})$
$t_{2}=\frac{v_{0}}{2g}$
$t=t_{0}+t_{2}=t_{0}+\frac{v_{0}}{2g}$

Vzhledem k tomu, že ze zadání plyne, že "správné řešení" udává obecné vzorce je pravdivost "správných řešení" diskutabilní.

Jj · 12. 08. 2017 22:27 — Editoval Jj (13. 08. 2017 16:16)

↑ comantelix:

Možná přehledněji:

Chyba - skryto. Viz ↑ Jj:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

comantelix · 13. 08. 2017 11:18

↑ Jj:
Děkuji, bez Vás bych si ani nevšiml, že moje rovnice není úplně špatně ( zapomněl jsem dosadit za $t_{0}$ ). Nerozumím však levé straně Vaší rovnice a tomu jak je zajištěno, aby nevykazovala zápornou vzdálenost.

Jj · 13. 08. 2017 16:13

↑ comantelix:

Teď si uvědomuju, že tady ↑ Jj: jsem "ujel". Podle zadání je zřejmě nutno počítat čas srážky od vyhození prvního tělesa, to zn. z rovnice

$v_0t-\frac{g}{2}t^2=v_0(t-t_0)-\frac{g}{2}(t-t_0)^2$ .

Teprve z ní myslím plyne čas srážky $t=\frac{v_{0}}{g}+\frac{t_{0}}{2}$ , tj. shodně s Ilkovičem.

comantelix

↑ Jj:
Děkuji za objasnění.

comantelix · 15. 08. 2017 11:09

Děkuji, Vaše rady mi hodně pomohly. Chtěl bych Vás požádat o pomoc s ještě jednou úlohou (taktéž patří do mechaniky, proto nezakládám nové téma).
Úlohou je nalezení těžiště homogenního kužele o výšce $v$ s kruhovou podstavou o poloměru $r$ . S pomocí internetu jsem úlohu vyřešil (integrál znám jen přibližně osm dní, řešil jsem podle: Odkaz ). Principu řešení rozumím, ale výsledek $z_{0=}\frac{v}{4}$ (soustava souřadnic má počátek ve středu podstavy) se mi zdá zvláštní neboť jsem měl za to, že těžnice trojúhelníka , který je řezem kužele v rovině vrcholu a libovolného průměru podstavy se vzájemně dělí v poměru 2:1 a tedy i těžnice z vrcholu do středu podstavy (předpokládám rotační kužel) je těžištěm takto rozdělena. Protože by se měla těžnice z vrcholu do středu podstavy shodovat s výškou, čekal bych těžiště $z_{0=}\frac{v}{3}$ .

LukasM · 15. 08. 2017 12:16 — Editoval LukasM (15. 08. 2017 12:18)

↑ comantelix:
Výsledek v/4 je správně. A ano, rozumím, že se to na první pohled může zdát podivné a člověk by čekal, že to bude jedna třetina, jako u trojúhelníku, který je řezem toho tělesa. Háček je v tom, že z obyčejných tenkých trojúhelníků ten kužel neposkládáš, ať je uděláš jakkoli tenké. Kdyby sis ten kužel postavil na podstavu a pak ho řezal třeba pořád na poloviny, jako se řeže dort, ani v limitě ty dílky nebudou trojúhelníkovité - při pohledu shora budou vždy vypadat jako "kousek dortu", tj jako kruhová výseč (resp. dvě výseče proti sobě). Zkrátka kdybys takový dílek z kužele vyndal, tak bys zjistil, že sice z boku vypadá jako trojúhelník, ale ten nemá všude stejnou tloušťku. Na jeho okraji (dále od osy) je více materiálu - a co je dál od osy, to je níž.

comantelix · 15. 08. 2017 14:26

↑ LukasM:
Aha, takže postup s integrály řeší nestejnou tloušťku řezů.

Matematické Fórum

#1 11. 08. 2017 19:33

Úlohy z mechaniky

#2 11. 08. 2017 20:08

Re: Úlohy z mechaniky

#3 12. 08. 2017 11:57 — Editoval comantelix (12. 08. 2017 11:58)

Re: Úlohy z mechaniky

#4 12. 08. 2017 17:22

Re: Úlohy z mechaniky

#5 12. 08. 2017 20:55

Re: Úlohy z mechaniky

#6 12. 08. 2017 22:27 — Editoval Jj (13. 08. 2017 16:16)

Re: Úlohy z mechaniky

#7 13. 08. 2017 11:18

Re: Úlohy z mechaniky

#8 13. 08. 2017 16:13

Re: Úlohy z mechaniky

#9 14. 08. 2017 14:06 — Editoval comantelix (14. 08. 2017 14:23)

Re: Úlohy z mechaniky

#10 15. 08. 2017 11:09

Re: Úlohy z mechaniky

#11 15. 08. 2017 12:16 — Editoval LukasM (15. 08. 2017 12:18)

Re: Úlohy z mechaniky

#12 15. 08. 2017 14:26

Re: Úlohy z mechaniky

Zápatí