Matematické Fórum

Gogis · 25. 08. 2017 19:43

Mame standardny dokaz toho, ze ak mame pole $F$ a v nom nejaky ireducibilny polynom $p(x)$ , tak existuje rozsirenie $K = F/(p(x))$ pola $F$ , v ktorom ma $p(x)$ koren. Taky dokaz mozeme vidiet napriklad tu (teorema 2.1) alebo tu (teorema 5.1).

Mojou otazkou je, kedze v poslednom kroku enumerujeme polynom $p(x)$ v hodnote $\overline{x} = \phi(x) = x + (p(x))$ , kde $\phi(x) : F \rightarrow K$ je kanonicky homomorfizmus, comu sa rovnaju cleny polynomu $p(\overline{x}) = a_n\overline{x}^n + a_{n-1}\overline{x}^{n-1} + ~...~ + a_0$ ? Preco plati rovnost $a_i\overline{x}^i ~=~ \overline{a_i}\overline{x}^i$ ? Ako sme sa k tomu dostali? Je OK len tak zobrazit koeficienty z $F$ na koeficienty z $K$ ?

Gogis · 26. 08. 2017 14:42

Ok, asi to uz chapem. Koeficienty $a_i$ pri $a_i\overline{x}^i$ maju taky vyznam, ze $a_i$ chapeme uz ako jej triedu kongruencie v $K$ . A je to korektne, lebo v poli $K$ sa nachadza izomorfna "kopia" pola $F$ , cize prvky z $F$ v nom maju rovnaku "hodnotu". Zdalo sa mi to ako trochu matuci zapis, ale takto to uz dava zmysel.

Matematické Fórum

#1 25. 08. 2017 19:43

Dokaz: koren ireducibilneho polynomu v rozsirenom poli

#2 26. 08. 2017 14:42

Re: Dokaz: koren ireducibilneho polynomu v rozsirenom poli

Zápatí