Matematické Fórum

Je dobré vědět, proč dilatace času je, resp. odkud pocházejí relativistické podivnosti:

Z Maxewllových plyne, že rychlost světla se nesčítá s jinými rychlostmi. Tzn. světlo vyzářené z pohybujícího se objektu dopadne do cíle za stejnou dobu, jako světlo vyzářené ze stejného místa z objektu stojícího.

Jenže pokud se rychlost světla nesčítá, není možné světlo předehnat. Prostě každý, nezávisle na tom, jak rychle se pohybuje, vidí, že světlo se pohybuje rychlostí světla. Což je sice dost divné, ale je to tak. Je to experimentálně ověřeno a v současné době lidé používají dost technologijí, které by nefungovaly, kdyby se světlo takto nechovalo.

Aby se rychlost světla nesčítala, nemohou se vlastně normálně sčítat ani ostatní rychlosti. Správné sčítání musí být takové, aby jím nešlo dosáhnout c. Výsledkem delšího odvozování je závěr, že s rostoucí rychlostí se zkracují vzdálenosti a zpomaluje čas podle známého gama faktoru. Pak se žádným sčítáním nedá překročit c. Jenže tím poněkud utrpí zákon zachování hybnosti (působíme stále stejnou silou, ale zrychlení stále klesá). Když se stejný faktor aplikuje i na hmotnost, ale obráceně než u délky a času, začne to celé fungovat. Vyjde nám, že energie něco váží a že to funguje podle E=mc^2. Zrychlující objekt je stále těžší a tak ho stejná síla urychluje stále méně. Najednou to celé hezky funguje. A praxe ukázala, že to takto skutečně je.

Dalším důsledkem je, že v objektu pohybujícím se c nemůže probíhat děj, protože v něm neplyne čas. Myšlenkové pokusy, které zahrnují děj v objektu pohybujícím se rychlostí c mohou vést k paradoxům.

Myšlenkový pokus tedy doporučuji promyslet znovu, ale tentokrát s realistickou rychlostí pěšáka a kromě dilatace času také použít kontrakci délek a kdyby se to zdálo vhodné tak i nárůst hmotnosti.

Např. pro 99 % c bude vycházet zpomalení času a zkrácení velikostí ve směru pohybu na 14,1 % a hmotnost ve stejném poměru vzroste, tedy 7,09 krát.

↑ Akraell:
Nemám teď čas psát víc a nebo něco přepočítávat, tak jen pár rychlých poznámek.

1. Pozor na současnost událostí. Dvě události současné pro jednoho pozorovatele nemusí být současné pro druhého. Takže je potřeba říct, co se tím současným útokem (pěšák vyběhne, lukostřelec začne střílet) myslí. Nejsnazší to bude, když to odstartuje rozhodčí tím, že si stoupne přesně doprostřed té vzdálenosti a odkryje lucernu (nebo nějak podobně).

2. Všichni pozorovatelé se samozřejmě musí shodnout na objektivních předpovědích. Např. kolik šípu bude v pěšákovi zapíchnutých, když narazí do lukostřelce. Stejně tak se musí shodnout na tom, kolik bude mít ten druhý na hodinkách - ovšem může jim to klidně připadat divné. Podstatné je, že se shodnou. Pokud se v některých tvých úvahách neshodnou, jsou ty úvahy špatně.

teď jsem unavený, vylezl jsem z postele při zjištění, že jsem napsal blbost. Tak snad nenapíšu další. Teď jsem na tom špatně, že nemám jistotu, jestli píšeš o pozorovatelích jako o čtenářích nebo o lukostřelci a pěšákovi, kteří se pozorují :D

1. a) současnost událostí (časově stejný start dvou událostí) vs aktuálnost událostí ? No, učitel ze střední říkal, že se neumíme (mi žáci) správně vyjadřovat :D

1. b) pozorovatelé jako lukostřelec vůči pěšákovi a pěšák vůči lukostřelci? Že je v té časové dilataci víc problémů?

2. a) No, jestli jsem počítal správně nevím, to se ukáže. Možná zítra ještě provedu kontrolu výpočtu.

2. b) Lukostřelec a pěšák se musí shodnout ? No, to že jeden vnímá jiný čas druhého je dost komplikovaná záležitost. Přitom výsledek musí být asi zachovaný, jako kdyby k dilataci nedošlo (že ty dva to dokáží podivně předpovědět).

O to se právě snažím. Wiki, pár dalších stránek a nic moc. Edison mi to ale tady podal velmi dobře. Potřebuji se ale nejprve sesynchronizovat se správným uvažováním o dilatace času, tak jsem podle jeho návodu předělal úvahu o Pěšákovi a Lukostřelci.   

LukasH mi napsal "Pozor na současnost událostí". Podal mi to tak, že jsem nevěděl, jestli píše o pozorovatelích jako o čtenářích tohoto fóra nebo o Lukostřelci pozorující pěšáka a opačně. Proto jsem psal dvoje odpovědi.

Nyní se MisaH opět zmíní o "o té současnosti to je". Dobrá, můj mozek instaluje ovladače "pochopení problému o současnosti událostí" a spouští vygenerování výsledku. Buď bude podle výsledku program pochopení dilatace času fungovat správně nebo vznikne další chyba.

Takže: (zpřesnil jsem čísla, stále jsou ale zaokrouhleny na celá)
Pěšák a lukostřelec startují akci současně od 09:00:00 a zároveň jsou v tomto okamžiku spuštěny jejich stopky
Z pohledu pěšáka běžící 99%c a jeho stopky se dostane k lukostřelci za jednu sekundu.
Z pohledu lukostřelce a jeho stopky pěšák běží  42 milionů metrů za sekundu a těch 297 miliónů metrů tedy uběhne až za 7 sekund. Tím pádem lukostřelec stihne vystřelit 3x (střílí 0,5 šípů za sekundu). Po střetu se zastavil čas.
Oba skutečně zaútočili současně v absolutně přesných 9 hodin. Pěšák se ale podle Lukostřelce pohnul až za šest sekund. Zároveň vidí na pěšákovy stopkách jednu sekundu.
Z pohledu chudáka pěšáka s tak boží rychlostí, že měl propočítáno jasné vítězství (nebral v úvahu dilataci času), viděl Lukostřelce střílet 7x rychleji a pravděpodobně taky viděl, že nezačal střílet současně s útokem pěšáka (pokud to platilo pro lukostřelce).

Gama faktor podle 99%c jsem zaokrouhlil na 7. Zpomalení času 7x
zkrácení dráhy z 297 milionů metrů na 42 milionů metrů (7x)

Vezmu to od konce:

Já jsem úvahu psal v ideálním stavu, kdy skutečně oba startují čistě absolutně stejně.

Jenže nic jako "absolutně stejně" není jednoznačně definováno. Proto je u podobných úvah vždy dobré stanovit nějaký mechanizmus, podle kterého se jednoznačně zadefinuje, kdy to pro kterého pozorovatele nastane.

(Termínem pozorovatel se v relativistických úvahách myslí někdo, kdo děj pozoruje. V našem případě se pozorovatelé shodují s účastníky experimentu. Ale pro kontrolu si tam lze přimyslet i další pozorovatele do jiných míst. Pokud se všichni neshodnou na kauzalitě děje, je v úvaze nějaká chyba.)

Ten synchronizační mechanizmus se musí stanovit proto, že není žádná jednoznačná definice pro současnost použitelná na dálku. Pokusný děj tedy musí začít na jednom místě, kde můžeme říct "tady a teď". Od toho místa a času se pak dá vše správně odvodit.

Při stanovování synchronizačního mechanizmu se taky někdy může stát, že se žádný takový nepodaří najít. To obvykle znamená nějakou chybu v předpokladech pokusu. Je to tedy i kontrola chyb v zadání.

Ještě je dobré si na začátku ujasnit, s čím je spojena naše souřadná soustava, tedy co prohlásíme za stojící. V našem případě je to jednoduché, bude to lukostřelec a start.

Ale není to samozřejmé. V průběhu pokusu by například lukostřelec mohl uvidět, jak kolem prolétá planeta, letící stejnou rychlostí a rovnoběžně s pěšákem. Pozorovatel na planetě, který pokus náhodně zahlédne, bude samozřejmě pěšáka brát jako stojícího. Prostě uvidí jak pěšák šíleně rychle přiběhne, zastaví se a za chvíli bum, přiletí šípy s lukostřelcem a rozmáznou ho.

A pak ještě jeden zádrhel: Pokud na celý děj stačí speciální relativita, je to výrazně jednodušší a proto je dobré se vyhnout výskytu zrychlení, abychom nemuseli použít relativitu obecnou, která je poněkud složitější.

No a start pěšáka je zrovna situace se zrychlením. Vzhledem ke krátké době by bylo zrychlení brutální, pěšák by si při něm mohl prohlédnout např. projevy Unruhova jevu a vůbec by mě nepřekvapilo, kdyby mezi tím proběhla většina jím pozorovaného času od startu do zastřelení. Také je možné, že by pozorovatel z planety viděl něco jiného, než jsem odhadnul o kousek výš.

Takže kdybychom tento experiment chtěli zjednodušit, uděláme malou změnu: Pěšák se rozběhne na 0,99c někde dál a v původně plánovaném okamžiku startu již plnou rychlostí proběhne plánovaným místem startu.

Jenže tím zas znemožníme jednoduchou synchronizaci původně navrženou LukasM.

Takže se nabízí možnost, že pěšák vyběhne ještě mnohem dál před startovní pozicí a v jistém okamžiku proběhne okolo detektoru, který směrem na lukostřelce blikne světlem. Vzdálenost detektoru od startu bude taková, aby než doběhne ke startu, ho světlo z detektoru předhonilo právě o 1s. Oba pak u sebe mohou mít nějaké hodiny, přičemž ty pěšákovy se vynulují proběhnutím startem, střelcovy dopadem světla od detektoru. Synchronizační děj si můžeme představit dejme tomu z pohledu pozorovatele, stojícího u startu.

Nyní tam konečně nemáme zrychlení a máme zajištěnu synchronizaci.

Z pohledu lukostřelce a jeho stopky pěšák běží  42 milionů metrů za sekundu a těch 297 miliónů metrů tedy uběhne až za 7 sekund

Stojící pozorovatel by přímo neměl vidět žádné takové "divné" věci.

Ne. Stojící střelec právě proto že je stojící, nemůže pozorovat žádné takové podivnosti.

A taky by bylo dobré stanovit, kdy vyjde první střela. Z předchozích příspěvků jsem nabyl dojmu, že výstřely půjdou ve střelcových časech 0, 2, 4, ..., ale teď to vypadá, že začíná od 2.

celkem dlouhý boj. Přece jen jsem tvrdý oříšek :D

Pěšák běžící na lukostřelce rychlostí 99%c je připraven k útoku. Lukostřelec vycítil jeho přítomnost
a zahájil střelbu v době, kdy byl od něj Pěšák už 297 milionů metrů daleko. V tu chvíli jejich stopky začaly měřit čas a Lukostřelec začal střílet.
Pěšák se usmál. Věděl, že Lukostřelci trvá střelba z luku 2 sekundy a podle vztahů v = s/t předvídal, že Lukostřelce zneškodní už za 1 sekundu. Když se ale rozpohybovaly jejich stopky, vznikl problém zvaný "Dilatace času" (neřeším sčítající se následky dilatace času způsobeny před začátkem jeho vzniku, pokud tomu fakt dochází).

Z pohledu Pěšáka
Vlivem tohoto problému se zkrátila dráha mezi Pěšákem a Lukostřelcem na 42 milionů metrů, kterou ovšem Pěšák stále urazil za 1 sekundu. Tím vlastně zpomalil svůj čas, který nevnímal. Vnímal naopak zrychleného Lukostřelce - čas Lukostřelce byl pro Pěška zrychlen.

Vnímal zkrácení dráhy na 42 milionů metrů, kterou urazil za 1 sekundu?

Z pohledu Lukostřelce
Lukostřelec věděl, že Pěšák běží  rychlostí 99%c a že ho nestihne zneškodnit. Přesto se dal ke střelbě.
Lukostřelcovy stopky ukazovaly už 2 sekundy, v tu chvíli vystřelil svůj první světelný šíp. Lukostřelec stále žije a nevěřícně střílí dál. 4 sekundy - druhý šíp. 6 sekund - třetí.
Když jeho stopky ukazovaly sedmou sekundu, měl nabito, ale už neměl na koho střílet.

V tu chvíli se jejich stopky zastavily.

Vlivem setrvačnosti (pokud funguje) Pěšák odlítl hodně daleko za Lukostřelcem. Možná při jeho rychlosti zafungovala i tlaková vlna a další vlivy, které by pravděpodobně Lukostřelce strhly sebou a napáchaly by toho určitě víc - zanedbat

Když Lukostřelec našel Pěšákovo tělo, měl na sobě tři šípy.
Samozřejmě, že je měl, vždyť běžel 7 sekund. Proč ale neběžel těch 99%c, jak bylo o Pěšákovi známo. Mohl Lukostřelce dostat dřív, než by vystřelil.
Když se podíval na svoje stopky a na jeho, nemohl uvěřit svým očím.
Lukostřelec na těch svých viděl 7 sekund a Pěšákovy stopky ukazovaly jednu sekundu.

Vycházím také z jednoho článku, kdy kosmonautovi po návratu řekli, že omládl o 0,05 let.
Tím pádem pro kosmonauta zestárli o stejný počet let. To znamená, že Pěšák je o 6 sekund mladší tak, jako i jeho stopky. Pěšákovy stopky se tedy musely zastavit v jedné sekundě. To je ta podivnost, kterou Lukostřelec nemůže vidět? Že ty stopky, které se již nepohybují rychlostí 99%c, ale také stojí jako Lukostřelec, tak na těch stopkách je už taky 7 sekund (samozřejmě pro vedle stojícího Lukostřelce)?

To by ale pak nezafungovala ani představa snílků o letu do budoucnosti. Kdy letí velkou rychlostí do vesmíru a za nějakou určitou dobu se vrací do země, kde už je dávno n-tá generace. To by hned snílci dohnali smrt. Což by možná vysvětlovalo pozdní zánik mionů apod.

Jak na tom jsem nyní? :D

Docela bych ocenil, kdybych se nemusel zdržovat tříděním fyzikálně relevantního textu od omáčky typu "se usmál", "předvídal" a pod.

Pár poznámek:

- Při rovnoměrném pohybu proti sobě vždy tomu druhému jdou hodiny pomaleji. Speciální relativita neobsahuje mechanizmus, který by umožnil rozlišit, kdo se "doopravdy" pohybuje a kdo "doopravdy" stojí. Pohyb je v ní dokonale relativní. Pro oba se tedy na tom druhém (a všem, co je ve stejném pohybovém stavu) musí projevovat stejné věci. Není možné, aby pro jednoho tomu druhému šly hodiny pomaleji a pro druhého tomu prvnímu šly rychleji.

- Dále se nám to komplikuje samotným pohybem světla. Když se první dejme tomu dívá druhému dalekohledem na hodinky, jsou zpomalené v důsledku pohybu, ale jak se k sobě blíží, vzdálenost se zkracuje, takže děj pozorovaný v dalekohledu se tím zase zrychlí. Celkový výsledek pak odpovídá relativistickému Dopplerovu jevu a pro přibližování 0,99c vychází pozorovaný čas zrychlený asi 14x.

- Situace, kdy jeden vůči druhému nesymetricky omládne (přesněji řečeno neomládne, ale pomaleji stárne) je možná právě až v obecné relativitě, kde je nutnou součástí správné započítání zrychlení. Tím se zruší symetrie platící při rovnoměrném pohybu, protože jen jeden zrychloval a brzdil. Ale to bych sem zatím netahal, dokud nebudeš správně chápat pohyb bez zrychlení:-)

- Efekty při nárazu běžce do střelce budou odpovídat tomu, že si běžec kromě svých dejme tomu 100 kg klidové hmotnosti přinese ještě 600 kg kinetické energie. Nechce se mi to počítat, ale tipuji, že meteorit podezřívaný z vyhubení dinosaurů byl jen takové malé demo, jak by tohle mohlo vypadat:-)

↑ edison:
Jo, to je pravda, snažil jsem se vytáhnout jen to nejzákladnější nutné k vyřešení toho příkladu

To snad ne, chce se mi jít za vámi na horu a místo toho se neúmyslně a nevědomě pohybuji do stran. Jak je to možné? :O
Chtěl jsem dilataci času pochopit pomocí příběhu (prožít správný děj a řešit, proč tomu tak je).
Myslel jsem si, že příběh obsahuje všechny potřebné informace, které vám nestačily, tak jsem přidával, problém s brutálním zrychlením zlikvidoval a nahradil s již zrychleným Pěšákem.
Ani mi nedochází další problémy a paradoxy, který jsem si tím nahrazením způsobil.
Omlouvám se za svou ocelovou neschopnost.

Zkrátka
Vyčetl jsem, a snad správně pochopil, že stojící pozorovatel vnímá své hodiny, které jsou vůči němu v klidu, normálně. Ale hodiny, které se vůči němu pohybují rychlostí blížící se c, vnímá jako zpomalené.
Do toho ještě pletu další souvislosti, že nějaký kosmonaut je po návratu o 0,05 let mladší právě kvůli dilataci času.
Když jsem to dal do hromady, tak mi vyšlo to, že v čím rychlejším pohybu je předmět, tím jde jeho čas pomaleji než v pomaleji pohybujícímu se předmětu.
Jenže tím pádem by měl každý světelně rychlý bojovník smůlu proti stojícím cílům. Nějaký t=s/v by bylo k ničemu.
Mým cílem tedy bylo vědět, co rychle pohybující se Pešák vnímá za problémy související se stojícím Lukostřelcem a s jeho výhodami/nevýhodami a co vnímá stojící Lukostřelec za problémy související s Pěšákem a s jeho výhodami/nevýhodami. (výhody/nevýhody vycházející z dilatace času)
Pak jsem chtěl řešit proč tomu tak je.

To co vytáhl Tomáš Vencl za nutnosti je přesně to, co obsahuje příběh, nic jiného tam ze své tuposti nevidím a ani jsem neměl v úmyslu jiné problémy řešit. Ani mi zatím nedocházejí (jako s tím brutálním zrychlením. A to ještě z vás tahám informace o nějakých paradoxech o kterých taky nic nevím nebo mi minimálně ještě nedošly)

Příběh jsem do toho tahal z toho důvodu, že jsem s ním pracoval a pro jistotu jsem ji po zpracování rad zobrazoval celý, jestli je na něm stále nějaký nesoulad související s dilatací času. Teď se tedy budu snažit s vámi pracovat pouze s tím nejnutnějším.

↑ Akraell:
Souhlasíte tedy s těmi pěti body jak jsem zadání shrnul ?

Budu tedy zadání, tak jak jsem jej shrnul považovat za správné.

Udělal jsem 2 obrázky, na kterých je vidět pohled z obou soustav. pro lepší zobrazení jsem snížil rychlost na 0,8 c. Na situaci a vzájemných poměrech to nic nemění, pouze při 0,99c bude vše "protáhlejší".
Pohled lukostřelce (fialová ss) je vpravo.  Zelená osa tau je zároveň světočára běžce, při nárazu bude na hodinkách střelce zhruba 1,26 s a na hodinkách běžce zhruba 0,76 s. Běžcovy hodiny běží z lukostřelcovy soustavy pomaleji. Samozřejmě jej žádný šíp nezasáhne.
Vlevo je pohled ze soustavy běžce, časy na hodinkách jsou stejné. Start běžce a začátek měření lukostřelce z této soustavy ovšem nejsou současné (lukostřelec začal mnohem dříve).
Povšimněte si, že i z této soustavy běží lukostřelcovy hodiny pomaleji (situace je symetrická).
Není zde zakresleno šíření signálů (tiků hodin), ty se z místa vzniku šíří c (45 stupňů) a příjemce je tedy registruje ještě zrychlené nebo zpomalené Dopplerovým efektem v závislosti na tom, zda se přibližují, nebo vzdalují. Samozřejmě opět žádný zásah.




Obecně celá STR je vlastně o přecházení z jedné soustavy do jiné ( jednoho grafu do jiného) . Geometricky je Lorentzova transformace hyperbolická rotace (hyperbolic boost, boost), což je takový ekvivalent běžné rotace. Zjednodušeně jde o to zdeformovat graf tak, aby osy příslušné danému pozorovateli byly kolmé a sledovat, co to udělá s ostatními věcmi.
Samozřejmě to lze vyjádřit matematicky daleko sofistikovaněji, ale nic jiného za tím není.