Matematické Fórum

Martenzit · 20. 06. 2009 10:21

Pavel Brožek

Zkusil bych $y(x)=xp(x)$ , pak by to mělo jít separovat.

Kondr · 20. 06. 2009 12:13

Položme y=xz, pak xz+x^2z'=xz+x*sqrt(1+z^2)
xz'=sqrt(1+z^2)
1/x=z'/sqrt(1+z^2) -- a máme odseparováno, dál je to snadné.

EDIT: Zdravím rychlejšího kolegu ;)

Pavel Brožek · 20. 06. 2009 12:15

Nejsem si ale jistý, jestli tak dostaneme všechna řešení, takhle se omezujeme pouze na ta, kde y(0)=0.

Pavel Brožek · 20. 06. 2009 12:45

Vypadá to, že dostaneme ve výsledku 1/x a to nám po přenásobení x dá konstantu. Obecné řešení pak vyjde

$y(x)=\frac1{2K}x^2-\frac{K}2,\qquad\qquad K\in(0, +\infty)$ ,

což se dá ověřit.

kaja(z_hajovny)

↑ BrozekP:
dostaneme tak reseni na intervalu x>0

pocatecni podminka by nemela byt tvaru y(0)=neco, protoze v nule ma rovnice singularitu (po osamostatneni y' je prava strana v nule nespojita)

Pavel Brožek

↑ kaja(z_hajovny):

Popsaným postupem dostaneme řešení pouze na intervalech $(-\infty,0)$ a $(0,+\infty)$ . Pokud se ale pokusíme nějak vyřešit původní zadání $xy'=y+\sqrt{y^2+x^2}$ s využitm řešení na intervalech $(-\infty,0)$ a $(0,+\infty)$ , tak dostaneme řešení

$y(x)=\frac1{2K}x^2-\frac{K}2,\qquad\qquad K\in(0, +\infty)$

na celém R. Počáteční podmínka $y(x_0)=y_0$ pak může být libovolná kromě případů $y(0)\geq0$ .

V posledním příspěvku jsem se nevyjádřil zrovna šťastně, neměl jsem na mysli, že obecné řešení plyne z uvedeného postupu. Měl jsem napsat, že řešení, které získáme, použijeme k sestrojení obecného řešení.