Matematické Fórum

numeriprimi · 09. 10. 2017 10:02

Ahoj.
Mám takový problém. Potřebuji dokázat tuto kombinatorickou identitu:
${n \choose 1}+ 2{n \choose 2}+3{n \choose 3}+...+ n{n \choose n}= n\cdot 2^{n-1}$

Předpokládám, že by se dalo nějak využít skutečnosti, že:
${n \choose 0}+{n \choose 1}+ {n \choose 2}+{n \choose 3}+...+ {n \choose n}= 2^{n}$

Je však potřeba zohlednit ty násobky. Nemám ale ponětí jak. Můžete mi prosím říct, jak na to?

LukasM · 09. 10. 2017 10:13

↑ numeriprimi:
Ano, a ještě se hodí rovnost ${n \choose k}={n \choose n-k}$ a podívat se na čísla v součtu z jedné a z druhé strany.

Rumburak

↑ numeriprimi:

Ahoj. A co zkusit úplnou indukci ?

Marian · 09. 10. 2017 20:41 — Editoval Marian (09. 10. 2017 20:41)

↑ LukasM:

Asi tvému hintu úplně nerozumím, resp. proč tak složitě. Je možno ihned vidět, že dokazovaná identita (první identita v dotazu autora) přímo plyne ze druhé užitím základní vlastnosti binomického koeficientu

${n\choose j}=\frac{n}{j}\cdot{n-1\choose j-1},\qquad j,n\ge 1.$

Odtud je věc zřejmá. Pokud bychom šli do důsledku, bylo by nutné dokázat ještě i druhou pomocnou identitu v původním dotazu. Tady se bude hodit úplná indukce. Souhlasím tedy s Rumburakem, že lze indukci použít rovnou na původní problém a tím vyřešit dva problémy jednou ranou.

LukasM · 09. 10. 2017 22:23

Marian napsal(a):
↑ LukasM:
Je možno ihned vidět, že ...

No, je potřeba být opatrný pokud jde o soudy, co kdo hned vidí:-) Já toho totiž moc nevidím, první mně zkrátka napadlo to co jsem napsal (myslíc přitom na Gausse a populární historku o sčítání čísel 1-100), zkusil jsem to a nepřišlo mi to tak kostrbaté, abych to nemohl poradit. Je to na jednu rychlou úpravu. A druhou identitu tazatelka uvedla jako možné východisko, o její důkaz jsem se tedy nestaral. Pokud jde o Tebou navrhovaný postup, děkuji žes to sem napsal, je to rozhodně lepší - o tom nemůže být sporu. Ono rozporovat cokoli, co píšeš ty nebo Rumburak, to by bylo předem odsouzeno k nezdaru :-)

Nicméně i tak nemám pocit, že by můj postup byl přehnaně složitý. Samozřejmě pokud musíme dokázat i druhou tazatelkou uváděnou identitu, vhodný není.

Matematické Fórum

#1 09. 10. 2017 10:02

součet řady s kombinačními čísly - důkaz

#2 09. 10. 2017 10:13

Re: součet řady s kombinačními čísly - důkaz

#3 09. 10. 2017 13:45 — Editoval Rumburak (09. 10. 2017 15:12)

Re: součet řady s kombinačními čísly - důkaz

#4 09. 10. 2017 20:41 — Editoval Marian (09. 10. 2017 20:41)

Re: součet řady s kombinačními čísly - důkaz

#5 09. 10. 2017 22:23

Re: součet řady s kombinačními čísly - důkaz

Marian napsal(a):

Zápatí