Matematické Fórum

linet123 · 11. 10. 2017 11:27

Ahoj, chci se zeptat, jaktoze plati tento vztah pro rychlost? Rozumim tomu, ze rychlost se rovna derivaci polohoveho vektoru podle casu, ale neni mi jasne, jak zderivovali tu slozenou funkci, kde polohovy vektor je funkci drahy a draha je funkci casu, mohl by mi prosim nekdo napsat matematicky postup? Dale nevim, proc plati, ze derivace polohoveho vektoru podle drahy je rovna tecnemu vektoru? Dekuji za odpoved.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-10/14028_IMG_20171011_112124.JPG

mracek · 11. 10. 2017 13:04 — Editoval mracek (11. 10. 2017 13:09)

Tecna v bode [x0,y0] se pocita jako prvni derivace funkce.
http://www.aristoteles.cz/matematika/fu … iklady.php

A ten zbytek snad poradi nekdo jiny asi lepe.

Slozena derivace se derivuje na 2x

y = funkce(x)
y' = dy / dx = d(funkce(x)) / dx

y = funkce(x) ... s = funkce(v,t) = v * t
y = funkce(u) ... s = funkce(a,t) = a * t * t
u = funkce(x) ... a = funkce(v,t) = v / t

y' = dy / dx
= dy / du * du / dx
= d(y=funkce(u)) / du * d(u=funkce(x)) / dx

= ds / dv = d(v * t) / dv = t ... [1]
= ds / da * da / dv
= d(a * t * t)/da * d(v / t)/dv
= t * t * 1/t
= t ... [2]

Derivace rychlosti podle v vysla t. Derivace jinou funkci, jejich nasobenim dostanes rychlost, derivovana kazda zvlast dostavas stejny vysledek.

d(v / t)/dv = 1/t * d(v)/dv = 1/t
d(x / 5)/dx = 1/5 * d(x)/dx = 1/5
d(x * x / 5)/dx = 1/5 * d(x * x)/dx = 1/5 * 2 * x ... normani derivovani, co neni x, je konstanta, at uz je tam napsane T nebo cislo 5.

https://cs.wikipedia.org/wiki/Z%C3%A1pis_derivace

zdenek1 · 11. 10. 2017 17:33

↑ linet123:
tady se předpokládá, že máš vyjádřené $\vec r=\vec r(s(t))$ a pak prostě derivuješ složenou funkci.
To možná záš jinak zapsané
$[(f(g(x))]^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$
ale to je jen jiný zápis
$[(f(g(x))]^\prime=\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} g}\cdot\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}$

Takže žádný jiný matematický postup nedostaneš, protože to je jen jiný způsob zápisu.

Ke druhé otázce:
Musíš vědět, jak je definovaná funkce $s(t)$ . A to je
$s(t)=\int\left|\frac{\mathrm{d} \vec r}{\mathrm{d} t}\right|\, \text dt$ - DEFINICE
z toho ale přímo plyne, že
$\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}=\left|\frac{\mathrm{d} \vec r}{\mathrm{d} t}\right|=|\vec v|$

dále musíš vědět, že každý vektor můžeš zapsat $\vec{a}=|a|\cdot \vec{a}_0$ , kde $\vec{a}_0$ je jednotkový vektor ve směru vektoru $\vec a$ .

Takže tvůj vztah
$\vec{v}=\frac{\mathrm{d} \vec r}{\mathrm{d} s}\cdot \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} \vec r}{\mathrm{d} s}\cdot |\vec v|$
a současně
$\vec{v}=|\vec v|\cdot\vec v_0$
z čehož jasně plyne $\frac{\mathrm{d} \vec r}{\mathrm{d} s}=\vec v_0$

Takže $\frac{\mathrm{d} \vec r}{\mathrm{d} s}$ je jednotkový vektor ve směru rychlosti, a tím pádem je tečný vektor k trajektorii v daném bodě, protože rychlost je derivace a geometrický význam derivace je směrnice tečny v příslušném bodě.

Snad to takto stačí.

KennyMcCormick · 11. 10. 2017 17:56

↑ mracek:

y = funkce(x) ... s = funkce(v,t) = v * t
y = funkce(u) ... s = funkce(a,t) = a * t * t
u = funkce(x) ... a = funkce(v,t) = v / t

y' = dy / dx
= dy / du * du / dx
= d(y=funkce(u)) / du * d(u=funkce(x)) / dx

= ds / dv = d(v * t) / dv = t ... [1]
= ds / da * da / dv
= d(a * t * t)/da * d(v / t)/dv
= t * t * 1/t
= t ... [2]

Derivace rychlosti podle v vysla t. Derivace jinou funkci, jejich nasobenim dostanes rychlost, derivovana kazda zvlast dostavas stejny vysledek.

d(v / t)/dv = 1/t * d(v)/dv = 1/t
d(x / 5)/dx = 1/5 * d(x)/dx = 1/5
d(x * x / 5)/dx = 1/5 * d(x * x)/dx = 1/5 * 2 * x ... normani derivovani, co neni x, je konstanta, at uz je tam napsane T nebo cislo 5.

Tohle není správně, s výjimkou těchto tří řádků:

y' = dy / dx
= dy / du * du / dx
= d(y=funkce(u)) / du * d(u=funkce(x)) / dx

Důvod je, že nemůžeš vytýkat proměnnou z diferenciálu:
$\d (vt)=t\d v+ v\d t {\color{red}{\neq}} t\d v$

mracek · 12. 10. 2017 08:26

↑ KennyMcCormick:
Jo, to sem presne cekal, ze se nekdo ozve :)
Mas funkci y = func(x)
Kdyz to derivujes 'podle x', tak, cokoliv, co neni x muzes vytknout pred diferencial, pokud to jde vytknout.

d(v*t)/dt = v * d(t)/dt
d(v*t)/dv = t * d(v)/dv

To, co pises ty, jako nerovnost, jsem vubec nenapsal, vis.

misaH · 12. 10. 2017 09:10 — Editoval misaH (12. 10. 2017 09:15)

↑ mracek:

Ale ako sa to má rozoznať v tých tvojich litániách - čítať sa to poriadne nedá, a to sa KennyMcCormick do veci rozumie.

Čo potom chudáci zadávatelia ktorí netušia...

KennyMcCormick · 12. 10. 2017 21:31

↑ mracek:

To, co pises ty, jako nerovnost, jsem vubec nenapsal, vis.

Používáš ji tady:
↑ mracek:

ds / dv = d(v * t) / dv = t

a tady:

d(a * t * t)/da * d(v / t)/dv
= t * t * 1/t

Jestli chceš, vyber si jeden z těch dvou případů, vysvětlím ti to na něm.

Kdyz to derivujes 'podle x', tak, cokoliv, co neni x muzes vytknout pred diferencial, pokud to jde vytknout.
d(v*t)/dt = v * d(t)/dt
d(v*t)/dv = t * d(v)/dv

To je ta samá chyba zopakovaná podruhé.
$\frac{\d (vt)}{\d t}=\frac{v\d t+t\d v}{\d t}{\color{red}\neq}\frac{v\d t}{\d t}$

misaH · 12. 10. 2017 21:48

↑ KennyMcCormick:

:-)

Ale asi škoda času...

Matematické Fórum

#1 11. 10. 2017 11:27

Rychlost

#2 11. 10. 2017 13:04 — Editoval mracek (11. 10. 2017 13:09)

Re: Rychlost

#3 11. 10. 2017 17:33

Re: Rychlost

#4 11. 10. 2017 17:56

Re: Rychlost

#5 12. 10. 2017 08:26

Re: Rychlost

#6 12. 10. 2017 09:10 — Editoval misaH (12. 10. 2017 09:15)

Re: Rychlost

#7 12. 10. 2017 21:31

Re: Rychlost

#8 12. 10. 2017 21:48

Re: Rychlost

Zápatí