Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 26. 10. 2017 18:30
opisany a vpisany stvoruholnik
Napadla mi takato uloha:
Majme kruznicu k a na nej 4 body A,B,C,D ktore su vrcholmi stvoruholnika vpisaneho do k. Bodmi A,B,C,D vedme dotycnice a,b,c,d ku kruznici k, ktore nam vytnu stvoruholnik PQRS opisany k. Dokazte, ze diagonaly tychto dvoch stvoruholnikov sa pretinaju v jednom bode.
Offline
#2 13. 01. 2018 13:36
Re: opisany a vpisany stvoruholnik
Pozdravujem ↑ Brano:,
Poznamka. (Analyticke riesenie- Mala pomoc)
Ak vyberieme k ako jednodkovu kruznicu, a vyberieme bod A, bod suradnic (1;0) riesenie problemu ( co nemeni nic na vseobecnosti problemu) je dost jednoduche.
Ina metoda, je pouzitie complexnych cisiel ( ale asi nedostupna pre stredoskolakov).
↑ Brano: mas aj synteticke riesenie?
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#3 16. 01. 2018 20:03
Re: opisany a vpisany stvoruholnik
Ja som mal riesenie iba pomocou projektivnej geometrie, ale zaujimalo ma ci najde niekto stredoskolske riesenie.
Inak riesenie pomocou komplexnych cisel by ma zaujimalo.
Moje riesenie:
Oznacme P1 priesecnik AB a CD
P2 priesecnik AC a BD
a P3 priesecnik AD a BC
Tvrdenie: P1 je pol priamky P2P3; podobne pre P2 vs P1P3; P3 vs P1P2
na dokaz treba urobit perspektivnu transformaciu ktora premietne P1 do nekonecna - kruznicu transformuje na elipsu, ktorej jedna hlavna os bude rovnobezna s obrazmi AB a CD
dosledok je ze P2 (priesecnik diagonal vnutorneho stvoruholnika) lezi na polare bodu P1 a taktiez na polare bodu P3 a potom si uz iba staci uvedomit, ze polara P1 je jedna z diagonal opisaneho stvoruholnika a polara P3 je druha
Offline
#4 16. 01. 2018 23:07
- check_drummer
- Příspěvky: 4623
- Reputace: 99
Re: opisany a vpisany stvoruholnik
Ahoj,
a nedalo by se to řešit tak, že bychom ty 4 vrcholy A,B,C,D chápali jako hmotné body, přiřadili jim vhodné váhy a ukázali, že jejich těžiště je v průniku úhlopříček? A volili váhy bodů P,Q,R,S pomocí vah A,B,C,D tak, že P,Q,R,S budou mít stejné těžiště jako A,B,C,D?
No ale je to jen takový hrubý nápad, ale třeba se toho někdo chytí... bude to pár dní zkoumat... a třeba na nic nepřijde... :-)
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#5 17. 01. 2018 08:44 — Editoval vanok (17. 01. 2018 12:34)
Re: opisany a vpisany stvoruholnik
Pozdravujem ↑ Brano:,
Tvoje riesenie vdaka projektivnej geometrie je krasna matematika ale zial jej vyucovanie mizne aspon v Europe aj z universit. Skoda.
Co sa tyka riesenia vdaka komlexnym cislam, najjednoduchsie riesenie co som tu nasiel je pouzitie rovnic v komplexnej rovine priamok v komplexnej forme a pre jednoduchost som predpokladal, ze ABCD je vpisany v jednodkovej kruznici.
kde a, b, c, d su komplexne afixy bodov A, B, C, D komplexnej roviny. 
. 
a tiez ze dotycnice bodov afixu a, b sa pretinaju v bode afixu 
.Doplnok
Ak uhlopriecky strvoruholnika ABCD su kolme, dotycnicovy stvoruholnik PQRS je dvoj-centrovy = ma vpisanu a aj opisanu kruznicu.
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline