Matematické Fórum

liamlim

Zdravím všechny.

Tak jsem si trochu hrál s teorií množin a narazil jsem na jakýsi blok v mém pochopení dané věci. Prosím o potvrzení, že všechny myšlenky jsou správné. Některé úvahy mi připadají totiž dost podivné a nejsem si jistý, jestli axiom umožňuje všechny kroky, které provádím. Díky :)

Axiom extenzionality: $(\forall a)(\forall b)(\forall c): a = b\Leftrightarrow (c\in a\land c\in b)$

Toto tvrzení platí speciálně pro $c := a$ . Platí tedy:
$(\forall a)(\forall b): a = b\Leftrightarrow (a\in a\land a\in b)$

Platí ale i pro $c := b$ . Tedy:
$(\forall a)(\forall b): a = b\Leftrightarrow (b\in a\land b\in b)$

Dohromady tato dvě tvrzení z tranzitivity ekvivalence dávají:
$(\forall a)(\forall b): (a\in a\land a\in b)\Leftrightarrow (b\in b\land b\in a)$

Toto tvrzení musí platit speciálně pro $b := \{a,b\}$ . Pak dostaneme:
$(\forall a)(\forall b): (a\in a\land a\in \{a, b\}) \Leftrightarrow (\{a, b\}\in\{a, b\}\land \{a, b\}\in a)$

Přitom triválně platí $a\in\{a,b\}$ , proto se předchozí tvrzení zjednoduší:
$(\forall a)(\forall b): a\in a \Leftrightarrow (\{a, b\}\in\{a, b\}\land \{a, b\}\in a)$

To specálně dává následující tvrzení:
1) $(\forall a)(\forall b): a\in a\Rightarrow \{a,b\}\in\{a,b\}$ .
2) $(\forall a)(\forall b): a\in a\Rightarrow \{a,b\}\in a$

Tvrzení (1) platí speciálně pro $b := a$ . Pak dostaneme $(\forall a):a\in a \Rightarrow \{a\}\in\{a\}$ . Z definice $\{a\}$ existuje jediná množina, která je v ní obsažena. Zároveň ale triviálně $a\in\{a\}$ . To dohromady dává

3) $(\forall a) : a \in a \Rightarrow a = \{a\}$ .

Tohoto vztahu využijeme při úpravě (2). Tím dostaneme:
$(\forall a)(\forall b): a\in a\Rightarrow \{a,b\}\in \{a\}$ . Přitom ale na pravé straně je jednoprvková množina. Proto nutně $a = b$ . Dohromady tedy máme:

$(\forall a)(\forall b) : a\in a \Rightarrow a = b$

Neboli jestliže máme množinu, která obsahuje sama sebe, pak je nutně rovna úplně všem existujícím množinám. Existuje tedy jen jediná množina a ta navíc obsahuje sama sebe. To podle mého názoru vyvrací možnost existence takové množiny, nepletu se? Tvrzení $a\in a$ by prostě odpovídalo nepravdě.

Proto nerozumím, kde je vlastně spor v tom, že by $X = \{a : a\not\in a\}$ . To je ekvivalentní zápisu $X = \{a : true\}$ . Tedy by to byla množina všech množin. Přitom $X\in X$ by bylo $false$ . Nestačilo by pro potlačení celého paradoxu prostě a jednoduše říct, že zápis $X = \{a : \varphi(a)\}$ vlastně znamená: $X = \{a\in\mathrm{All}: \varphi(a)\}$ ? Tedy že vždy vybíráme z množiny všech množin... Díky za jakýkoliv názor..

Edit: Podle mě je toto úplně OK. Nepodařilo se mi dojít k žádnému sporu, pokud by platilo například $\{a\}\in a$ . Proto by klidně mohlo dle mého názoru třeba $\{\emptyset, 5, \{\mathrm{All},7,8\}\}\in\mathrm{All}$

Edit2: Teď jsem si všiml, že jsem si axiom extenzionality pamatoval trochu špatně. Navíc už mi připadají některé mé kroky vyloženě divné a chybné. Prosím o upozornění. Díky.

liamlim

To znamená tvrdím, že následující teorie množin by mohla být celkem fajn:

$(\forall a)(\forall b)(\exists c)(\forall d): d\in c \Leftrightarrow d = a\lor d = b$
$(\forall a)(\forall b)(\forall c): (c\in a\Leftrightarrow c\in b)\Leftrightarrow a = b$
$(\exists a)(\forall b): a = b \lor b\in a$ => pojmenujeme $\mathrm{All}$
$(\exists a)(\forall b): b\in a\Leftrightarrow (b\in\mathrm{All}\land \varphi(b))$

edit: Ten první axiom si nejsem jistý, jestli by byl vůbec třeba. Já jej využil v důkazu, že samotná extenzionalita vyvrací možnost $a\in a$ . Třetím axiomem si takovou možnost efektivně zakážu, neboť jediný možný kandidát na takovou množinu by byl $\mathrm{All}$ . Navíc jsem si jistý, že by první axiom bylo možno odvodit z axiomu vydělení

edit: možná by se slušelo zakázat teorii mající pouze množinu $\mathrm{All}$ , která by obsahovala sama sebe přidáním axiomu: $(\exists a): a\ne \mathrm{All}$

edit: Teď jsem zjistil, že třetí axiom sice nedefinuje $\mathrm{All}$ jednoznačně, ale že jsou si všechny izomorfní. Prostě je úplně jedno, kterou ze všech množin splňujících axiom 3 vybereme...

Wotton · 27. 10. 2017 22:23 — Editoval Wotton (27. 10. 2017 22:26)

↑ liamlim:
Ahoj,
nekoukal jsem na to dopodrobna, ale už to první tvrzení, které označuješ jako Axiom extenzionality je zjevně nepravdivé.

EDIT: za předpokladu standardního použití relací $=$ a $\in$

Matematické Fórum

#1 27. 10. 2017 19:12 — Editoval liamlim (27. 10. 2017 20:09)

Axiom extenzionality

#2 27. 10. 2017 19:38 — Editoval liamlim (27. 10. 2017 20:01)

Re: Axiom extenzionality

#3 27. 10. 2017 22:23 — Editoval Wotton (27. 10. 2017 22:26)

Re: Axiom extenzionality

Zápatí