Matematické Fórum

Marc27 · 30. 10. 2017 08:54 — Editoval Marc27 (30. 10. 2017 09:00)

Dobrý den,
řeším tuto úlohu: Je-li možné vyjádřit vektor $\vec{a}=(5,1,-1)$ jako lineární kombinaci vektorů $\vec{u}=(3,1,1)$ , $\vec{v}=(2,1,2)$ a $\vec{w}=(1,1,3)$ ,najděte koeficienty a příslušnou lineární kombinaci napiště. Předtím byl podúkol ověřit, zda vektory $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$ tvoří bázi vektorového prostoru. Výpočte mi vyšlo, že jsou lineárně závislé a tudíž bázi netvoří. Sestavil jsem si rovnici k posouzení a vyšlo mi, že daná soustava nemá řešení.Ověřoval jsem i na wolframu.Výsledná rozšířená matice mi vyšla takto: $\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 3 & -1\\ 0 & -1 & -4 & 3 \\ 0 & -2 & -8 & 8 \end{array}\right)$ a po ještě jedné úpravě,abych si ověřil, že soustava nemá řešení takto: $\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 3 & -1\\ 0 & -1 & -4 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 14 \end{array}\right)$ . Ovšem ve výsledcích je, že existuje nekonečně mnoho způsobu, jak danou lineární kombinaci vyjádřit. Tak vůbec nevím, co si počít.Mohu poprosit o radu?

LukasM · 30. 10. 2017 09:24 — Editoval LukasM (30. 10. 2017 09:33)

↑ Marc27:
Rada je jednoduchá - spočítej to správně. Problém bude ale nejspíš v tom , že matici soustavy sestavuješ tupě, bez přihlédnutí k tomu, proč vypadá tak, jak vypadá. Alespoň tak soudím podle toho, že jsi podle všeho "hodil vektory do řádků", jak se na tomto fóru často objevuje. To ale není správně. Při výpočtu LN/LZ se to ještě dá odpustit (determinant se transpozicí nezmění z nuly na nenulu a opačně), ale tady to je důležité. Jenom já jsem to tu rozepisoval už mnohokrát, například před lety v tomto vlákně.

Pokud věříš svému řešení, spočítej si kolik vyjde $2\vec{u}-\vec{w}$ .

vanok · 30. 10. 2017 09:28

Ahoj,
Staci vypocitat determinant vytvoreny z tvojich troch vektorov ktore je =0. Cize tvoje vektory su LZa nemozu tvorit bazu priestory.
Ale mohol si hned poznamenat, ze $\vec u=2\vec v -\vec w$ co ti tiez okamzite ukaze ze tvoje vektory su LZ.
Aby si ukazal ze $\vec a$ nie je komb. lin danych vektorov staci vysetrit rovnicu $\vec a=x \vec v +y\vec w$

vanok · 30. 10. 2017 09:31 — Editoval vanok (30. 10. 2017 09:33)

Neskoro .
Ale to doplnuje.

vanok · 30. 10. 2017 09:35 — Editoval vanok (30. 10. 2017 12:16)

↑ LukasM:,
Staci vediet, ze determinant je alternovana multilinearna forma.
Tak napr (len mini pouzitie pripomenutej vety)
10
01 ma det 1

A po transpozicii riadkov.
01
10 matica ma det -1

Édit. Ako pise kolega Lukas, skutocne slovo transpozicia matic znamena, ze matica vymeni s one riadky a stlpce.( potom $a_{ij}^{tr}=a_{ji}$ )
Iny vyznam slova transpozicia je ide o bijekciu taku ktora zmeni prave dva prvky jej ine prvky su pevne. Odkazy. A to najdete na webe, napr.tu
V priklade ktory som napisal vyssie ide o tuto druhu situaciu.

Este, ze sa vieme vysvetlit. Ze.

LukasM · 30. 10. 2017 11:50 — Editoval LukasM (30. 10. 2017 11:55)

↑ vanok:
Akorát, že tohle není transpozice. Nebo alespoň ne v tom smyslu, v jakém se toto slovo obvykle používá - viz třeba wolfram.

vanok · 30. 10. 2017 12:30 — Editoval vanok (30. 10. 2017 12:37)

↑ LukasM:,
Som to doeditoval,
Mas pravdu, to iste slovo sa pouziva v obidvoch situaciach, aj ked bezne sa povie « transpozovana matica », a preto som upresnil v edit, aj ja, ze ide o « transpoziciu riadkov » aby to nebolo dvojzmyselne.

Ale ti co poznaju vetu co som citoval v #6 sa iste stretli z pojmom traspozicie riadkov ci stlpcov.
Aku formulaciu tejto vety pouzivaju bezne vase materialy?

LukasM · 30. 10. 2017 13:27

↑ vanok:
Pokud je to otázka na mně, tak v "naší" lineární algebře slovo transpozice znamenalo především transpozici matice. Pro záměnu jednotlivých řádků/sloupců nebyl používán žádný zvláštní "odborný" výraz, slova jako "záměna", "výměna", "přehození" atd. nám stačila. Jediný další význam slova transpozice označoval permutaci (bylo to tedy zobrazení), která přehodí dva prvky, ale toto slovo jsme nikdy nepoužívali přímo v souvislosti se sloupci nebo řádky. A pokud vím, bylo to tak i v materiálech jiných škol, ke kterým jsem se nějakým způsobem dostal. Čímž neříkám, že to někde nepoužívají jinak.

Každopádně vzhledem k tomu, že ve své původní odpovědi hovořím o tom, kdy vektory mohou být "v řádcích" a kdy je potřeba o tom víc přemýšlet je snad z kontextu celkem jasné, o co jde. Ale třeba je to jen můj dojem.

K tomu, že záměna sloupců / řádků mění znaménko determinantu. Je to důsledek toho, že determinant je antisymetrická forma (jak píšeš), a v tomto kontextu to také je zavedeno v mých materiálech. Plus to přímo plyne z explicitního vyjádření determinantu matice (suma přes všechny permutace ...).

vanok · 30. 10. 2017 15:01

↑ LukasM:,
To nie je ziadny problem, pokial ludia vedia ich definicie.

No ako pises, slovo transpozicia je v cz,sk cudzie slovo ( latinskeho povodu a to niekedy kultivovani ludia radi u vas pouzivali, a podla toho co pises, dnes uz asi nie, akoze si pridal tolko cz. sk. synonymov... [ale nie je to celkom tak... hovorite napr. per partes miesto po castiach, alebo oznacenie koncov dokazov tiez po latinsky, atd... prepac, Et cetera] ), ale definicia co som vyssie pripomenul je aj vasom matematickom slovniku a urcite aj v beznych slovnikov.
Podla mna nie je ziadna prrekazka aby si to aj ty pouzival. Vsak si kultivovany clovek.👍😀
Tiez nie je podla mna ziadna vasa linearna algebra, ale len Linearna algebra.

Matematické Fórum

#1 30. 10. 2017 08:54 — Editoval Marc27 (30. 10. 2017 09:00)

Lineární kombinace vektorů - dotaz

#2 30. 10. 2017 09:24 — Editoval LukasM (30. 10. 2017 09:33)

Re: Lineární kombinace vektorů - dotaz

#3 30. 10. 2017 09:28

Re: Lineární kombinace vektorů - dotaz

#4 30. 10. 2017 09:31 — Editoval vanok (30. 10. 2017 09:33)

Re: Lineární kombinace vektorů - dotaz

#5 30. 10. 2017 09:33 Příspěvek uživatele LukasM byl skryt uživatelem LukasM. Důvod: Vanok mate :-)

#6 30. 10. 2017 09:35 — Editoval vanok (30. 10. 2017 12:16)

Re: Lineární kombinace vektorů - dotaz

#7 30. 10. 2017 11:50 — Editoval LukasM (30. 10. 2017 11:55)

Re: Lineární kombinace vektorů - dotaz

#8 30. 10. 2017 12:30 — Editoval vanok (30. 10. 2017 12:37)

Re: Lineární kombinace vektorů - dotaz

#9 30. 10. 2017 13:27

Re: Lineární kombinace vektorů - dotaz

#10 30. 10. 2017 15:01

Re: Lineární kombinace vektorů - dotaz

Zápatí