Matematické Fórum

elSteve · 01. 11. 2017 00:34

Mám příklad, se kterým si nevím rady. Myslel jsem, že jsem na to přišel, ale vůbec. Mám 3 vektory a1= (1,2,3), a2= (0,2,3) a a3=(4,2, -1). Jak přijdu na to, jestli generují vektorový prostor R3? Prosím spíše o vysvětlení jak pro blba, hrozně jsem se do toho zamotal.
Myslel jsem, že když jde o alespoň 3 vektory a každý má 3 "členy", že je to dobrý začátek, že je první z podmínek splněna. Měl jsem určité chvilkové osvícení jak to dál vypočítat, ale teď vůbec nevím. Šlo by to nějak přes určení báze? MYslel jsem, že zjistím, zda jsou lineárně nezávislé a pokud by byly, že ten prostor generují. Ale asi to tak jednoduše nejde? Proč?

Děkuji

LukasM · 01. 11. 2017 07:40 — Editoval LukasM (01. 11. 2017 07:46)

↑ elSteve:
Jde to takhle jednoduše. Pokud jsou ty vektory lineárně nezávislé, je dimenze jejich lineárního obalu stejná, jako jejich počet. Tedy 3. A to přesně potřebujeme.

Kdyby to byly jen dva vektory, určitě nebudou generovat R3. Budou přinejlepším generovat něco s dimenzí 2 (a kdyby byly LZ a alespoň jeden nenulový, tak jen jedna). Naopak, kdyby byly čtyří, jsou určitě LZ - ale neplyne z toho jestli generují celé R3. Nemusí. Záleží na počtu nezávislých vektorů.

Jediné co ve tvém příspěvku (asi) není pravda je, že "když jde o alespoň 3 vektory a každý má 3 "členy", ..., je první z podmínek splněna". Když vidíš tři vektory z R3, ještě to neznamená, že ten soubor generuje R3, ani to neznamená, že je LN. Jediné co to znamená, že POKUD je LN, tak generuje R3 a naopak. Ale nejsem si popravdě jistý, o jakých dvou podmínkách vlastně mluvíš. Soubor vektorů nemusí být LN, aby mohl generovat nějaký prostor.

Rumburak

↑ elSteve:

Ahoj.
To, co píše kolega ↑ LukasM:, se dá shrnout takto:

Je-li $S$ nějaký $n$ - členný seznam vektorů daného vektorového prostoru $V$ ,
pak lineární obal $L$ seznamu $S$ je podprostorem ve $V$ a platí $\dim(L) \le n$ .
Rovnost $\dim(L) = n$ zde nastává právě tehdy, je-li seznam $S$ lineárně nezávislý.

Pojem seznam se zde lépe hodí než pojem množina, protože v sobě zahrnuje i možnost,
že jsou v něm některé vektory uvedeny vícekrát než jednou (což je speciální případ
lineární záívislosti, na který bychom neměli zapomínat).

vanok · 01. 11. 2017 13:43

Poznamka.
V praxi sa casto vysetri hodnost matice danych vektorov vdaka GEM. Tu mas 3 vektory a ak hodnost ich matice je 3, ide o LN vektory.

Akoze ide o malo vectorov, ( tri) tak moze byt vyhodne vysetrit ich determinant. Ak nie je nulovy tak zasa ide o LN vektory.

Matematické Fórum

#1 01. 11. 2017 00:34

Jak zjistím zda tyto 3 vektory generují vektorový prostor?

#2 01. 11. 2017 07:40 — Editoval LukasM (01. 11. 2017 07:46)

Re: Jak zjistím zda tyto 3 vektory generují vektorový prostor?

#3 01. 11. 2017 11:14 — Editoval Rumburak (01. 11. 2017 11:16)

Re: Jak zjistím zda tyto 3 vektory generují vektorový prostor?

#4 01. 11. 2017 13:43

Re: Jak zjistím zda tyto 3 vektory generují vektorový prostor?

Zápatí