Matematické Fórum

TomášNovotný · 06. 11. 2017 20:59

Kdybych vám zadal libovolné přirozené číslo, dokázali byste mi říct kolik kvádrů s celočíselnými rozměry budou mít objem rovnu tomu číslu, který jsem vám zadal na začátku?

Můj nápad:

1. Vypsat si počet kvádrů pro několik prvních přirozených čísel a najít vzorec pro n-tý člen posloupnosti.
2. Vypsat si všechny dělitele zadaného čísla, poté z nich udělat kombinaci s opakováním a najít všechny trojice (problém: existují trojice, jejichž součin se nerovná zadanému číslu, tudíž se výsledek musí odečíst/vydělit s něčím).
3. Prvočísla mají vždy jeden kvádr, ale pro ostatní čísla existují různý počet kvádrů.

Tady jsem s úvahou skončil, dokáže to někdo vyřešit? Hodně štěstí. :)

zdenek1 · 07. 11. 2017 07:41

↑ TomášNovotný:
nápad:
začal bych prvočíselným rozkladem a pokračoval tvým bodem 2. (tím pádem by měl zmíněný problém zmizet)

TomášNovotný

Můžeš mi to prosím víc vysvětlit? Udělám prvočíselný rozklad, poté kombinaci z čeho?

Darko · 07. 11. 2017 22:37 — Editoval Darko (08. 11. 2017 20:58)

Předpokládám, že udělat nějaký obecný algoritmus je potíž, hlavně pro větší čísla, protože s hledáním prvošísel je vždy potíž.

Ve škole jsem se trochu nudil...
Obecné řešení:
Vím:
$a*b*c = const$
$(p_{1}^{\alpha_{1} }*p_{2}^{\beta{1}}*p_{3}^{\gamma {1} * }*...)*(p_{1}^{\alpha_{2} }*p_{2}^{\beta{2}}*p_{3}^{\gamma {2} * }*...)*(p_{1}^{\alpha_{3} }*p_{2}^{\beta{3}}*p_{3}^{\gamma {3} * }*...)= const = (p_{1}^{\alpha_{1+2+3} }*p_{2}^{\beta{1+2+3}}*p_{3}^{\gamma {1+2+3} * }*...)$

Takže jsem problém převedl na hledání počtu součtů.

Vytvářím tedy kombinace
a + b + c = const
pro každý exponent a kombinace následně vynásobím.
takže
$vysledek = \prod_{i=1}^{n}PocetSouctu(log_{p_{i}}n_{i})$
kde n_1 - n_n jsou prvky a p_1 - p_n prvočísla

Jak to udělat:
Nejdřív napíšu kombinaci
(a+b+c) 0 0
a potom všechny unikátní kombinace, které končí 0:
* * 0
těch je $floor(n/2)$
vč. 1.: $floor(n/2) + 1$
a se všemi čísly kromě 1. udělám pro menší číslo tento krok znovu.
na příkladu:
rozklad 11:
11 0 0 TOTAL: 1
10 1 0 1
9 2 0 1
8 3 0 1
7 4 0 1
6 5 0 1
// vychází to, že počet vypsaných členů takhle je floor(11/2)+1 = 6
// první člen nepotřebuju, už je "rozložený" - škrtnu
// najdu, kolika možnostmi se dá rozložit 0,1,2,3,4,5 -> floor(n/2)+1: 1,1,2,2,3,3
// každý řádek tím vynásobím
11 0 0 TOTAL: 1
10 1 0 1
9 2 0 2 -> 9 1 1
8 3 0 2 -> 8 2 1
7 4 0 3 -> 7 3 1; 7 2 2
6 5 0 3 -> 6 4 1; 6 3 2

Tohle udělat pro každý exponent a pak vynásobit. Není to odzkoušené a může to být špatně, ale určitě je to cesta, kterou se to dá řešit.

Edit: Předpokládal jsem, že délky stran a kvádry mají být reálné.¨

Edit2: je to špatně, moje metoda nezajišťuje kombinace více prvočícel, než 3.

Rumburak

↑ TomášNovotný:

Ahoj.

Asi Ti nesdělím nic nového, jen to trochu uspořádám.

Když V je dané př. č. pro velikost objemu, pak triviálním příípadem hledaného kvádru je
kvádr o rozměrech 1, 1, V.

Je-li V prvočíslo (nebo číslo 1), pak žádné další možnosti neexistují.
Je-li V číslo složené, pak další možnosti dostaneme rozložením čísla V na netriviální činitele
(jimiž ovšem nemusejí nutně být prvočísla).

Příklad: Je-li V = 12, pak oněmi dalšími možnostmi budou

[1, 2, 6], [1, 3, 4] , [2, 2, 3] .

Zkus si nějprve vyřešit analogickou avšak jednodušší úlohu v prostoru dimense 2 , tj.
ne pro objemy kvádrů, ale pro obsahy obdélníků.

Matematické Fórum

#1 06. 11. 2017 20:59

Kombinatorika, logika

#2 07. 11. 2017 07:41

Re: Kombinatorika, logika

#3 07. 11. 2017 10:01 — Editoval TomášNovotný (07. 11. 2017 10:01)

Re: Kombinatorika, logika

#4 07. 11. 2017 22:37 — Editoval Darko (08. 11. 2017 20:58)

Re: Kombinatorika, logika

#5 08. 11. 2017 10:20 — Editoval Rumburak (08. 11. 2017 14:32)

Re: Kombinatorika, logika

Zápatí