Matematické Fórum

Skrytý text:

Dokážu, že pro libovolné přirozené n platí
.

Pro n = 1 zřejmě platí, .

Předpokládejme platnost pro obecné n. Chceme dokázat, že pak
.
Vidíme, že oproti dokazované nerovnosti se levá strana vynásobila faktorem , zatímco pravá .
Zřejmě , platnost nerovnosti se tedy násobením stran těmito faktory nezměnila. Nerovnost tedy platí pro všechna n, i pro n = 998, což bylo dokázat.

Skrytý text:

Tvrdím, že platí pro všechna přirozená čísla . Dokážu to indukcí.
1. Základ indukce pro jistě platí:
.

2. Stanovíme indukční premisu platnou pro přirozené číslo , tj. předpokládejme platnost nerovnosti
.

3. Indukční krok je snadný. Z indukčního předpokladu plyne také správnost nerovnosti


Nyní se dokáže ještě, že platí nerovnost

což je velmi snadné, pokud si napíšete binomický koeficient pomocí faktoriálu a pokrátíte vhodně. To končí důkaz indukcí.


Všimněme si dále, že lze psát


Ale podle nerovnosti, kterou jsme dokázali indukcí, platí také nerovnost

Po dosazení máme platnost nerovnosti