Matematické Fórum

biggiesmalls · 11. 12. 2017 19:23

Zdravím, tentokrát mám příklad, se kterým si nevím rady.

Příklad zní:
Měřením bylo zjištěno, že průměr koule je 15 cm s možnou chybou ± 5 mm. Pomocí diferenciálu odhadněte, s jakou chybou vypočteme objem této koule.

Jediné co vím je, že objem koule se spočítá podle vzorce 4/3 * pí * r^3 , ale vůbec mě nenapadá jak postupovat. Budu moc vděčný, pokud mě někdo navede.

Jj · 11. 12. 2017 19:37 — Editoval Jj (11. 12. 2017 19:39)

↑ biggiesmalls:

Dobrý den.

Řekl bych, že

$\frac{\mathrm{dV} }{\mathrm{dr} }=4\pi r^2 \approx \frac{\mathrm{\Delta V} }{\mathrm{\Delta r} }\Rightarrow \Delta V \approx 4\pi r^2 \cdot \Delta r$

biggiesmalls · 11. 12. 2017 19:44

↑ Jj:

No, abych se přiznal, tak tomu moc nerozumím. Nešlo by to nějak popsat, co je co? Děkuji.

Jj · 11. 12. 2017 20:40

↑ biggiesmalls:

$\Delta V$ je hledaný odhad chyby objemu pomocí diferenciálu při možné chybě poloměru $\pm \Delta r$ , tzn.:

$\Delta V = 4\pi r^2 \cdot \Delta r$ ---> dosadit $r = 15\,cm, \, \Delta r = 0.5 \,cm$

biggiesmalls · 11. 12. 2017 20:59

Nemělo by r být náhodou 7,5 , když 15 cm je průměr?
A navíc nějak nepobírám ten vzorec.. Objem koule = 4/3 * pí * r^3
Proč zde máte 4 * pí * r^2 ?

biggiesmalls · 11. 12. 2017 21:04

↑ biggiesmalls:

Aha to máte vzorec pro obsah.. možná jste se jenom spletl (bez urážky :D)
V tom případě by to bylo

$\Delta V = (3/4 \cdot \pi \cdot 7,5^3) \cdot 0,5$

?

Jj · 11. 12. 2017 21:46 — Editoval Jj (11. 12. 2017 21:49)

↑ biggiesmalls:

Jj, přehlédl jsem, že je zadán průměr. Takže

$\Delta V \approx 4\pi r^2 \cdot \Delta r$ a dosadit $r = 7.5 \,cm, \, \Delta r = 0.5 \,cm$ , což už je v pořádku:

Pro malé $\Delta r$ přibližně platí $\Delta V \approx \frac{dV}{dr}\cdot \Delta r$ , což se má podle zadání užít k odhadu chyby objemu.

Protože $\frac{dV}{dr} = \frac{d (4/3 \, \pi r^3)}{dr}=4\pi r^2$ , dojde se po úpravě ke vztahu, který jsem uvedl.

Vámi uvedený vztah ↑ biggiesmalls: tudíž není správný.