Matematické Fórum

fnika · 13. 12. 2017 12:07

Ahoj,

chcela by som vas poziadat o pomoc.
Snazim sa prist na to, ci nasledujuce tvrdenie plati.

Tvrdenie:

Nech X, Y su nahodne veliciny z $L^{2}$ a $F_{X}^{(-1)}, F_{Y}^{(-1)}$ su ich kvantilove funkcie.
Dalej nech funkcia $w(s)$ ma vlastnosti
$1. w(s)>0$
$2. w(s) \text{je nerastuca}$
$3. \int\limits_{0}^{1} w(s)ds=1$

A nech plati nerovnost

$\int_{0}^{1}1_{\{s\le p\}}F_{X}^{(-1)}(s)ds \ge \int_{0}^{1}1_{\{s\le p\}}F_{Y}^{(-1)}(s)ds$ pre akekolvek $p\in(0,1]$ , kde $1_{\{s\le p\}}$ je indikator.

Potom je splnena nasledujuca nerovnost

$\int_{0}^{1}w(s)F_{X}^{(-1)}(s)ds \ge \int_{0}^{1}w(s)F_{Y}^{(-1)}(s)ds$

Dokaz:

Kedze $w(s) > 0$ , tak existuje postupnost schodovitych funkcii $w_{n}$ , $w_{n}>0$ taka, ze

$1. w(s)=\lim_{n\rightarrow \infty}w_{n}(s), \text{pre kazde} \, s$

$2. \int\limits_{0}^{1}wd\mu = \lim_{n\rightarrow \infty}\int\limits_{0}^{1}w_{n}d\mu$

Kedze $w_{n}$ su schodovite funkcie, tak ich mozno vyjadrit v tvare:

$w_{n}(s)=\sum_{i=1}^{N}\alpha_{i}1_{\{s\le o_{i}\}}$
kde $\alpha_{i}\ge 0$ , $N$ je prirodzene cislo a $o_{i}\in [0,1]$ .

Myslienka, ktora mi zatial napada ako by to mohlo ist ukazat je:

$\int_{0}^{1}w(s)F_{X}^{(-1)}(s)ds = \int_{0}^{1}w_{n}(s)F_{X}^{(-1)}(s)ds + \epsilon_{1}$
   $= \int_{0}^{1}\sum_{i=1}^{N}\alpha_{i}1_{\{s\le o_{i}\}}F_{X}^{(-1)}(s)ds + \epsilon_{1}$
   $= \sum_{i=1}^{N}\alpha_{i}\int_{0}^{1}1_{\{s\le o_{i}\}}F_{X}^{(-1)}(s)ds +$
   $\ge \sum_{i=1}^{N}\alpha_{i}\int_{0}^{1}1_{\{s\le o_{i}\}}F_{Y}^{(-1)}(s)ds + \epsilon_{1}$
   $=\int_{0}^{1}w_{n}(s)F_{Y}^{(-1)}(s)ds + \epsilon_{1}$
   $=\int_{0}^{1}w(s)F_{Y}^{(-1)}(s)ds + \epsilon_{1} + \epsilon_{2}$

Jedina vec, ktoru by som este potrebovala nejak ukazat, je ze plati

$w(s)F_{X}^{(-1)}(s)\rightarrow w_{n}(s)F_{X}^{(-1)}(s)$ pre $n \rightarrow \infty, \text{pre kazde} \, s$

a

$\int\limits_{0}^{1}w(s)F_{X}^{(-1)}(s)\rightarrow \int\limits_{0}^{1}w_{n}(s)F_{X}^{(-1)}(s)$ pre $n \rightarrow \infty$

Je mozne ze toto Tvrdenie naozaj plati a ak ano, da sa to dokazat tymto sposobom?

Dakujem

Matematické Fórum

#1 13. 12. 2017 12:07

Zachovanie nerovnosti integralov - dokaz tvrdenia

Zápatí