Matematické Fórum

aladar · 13. 12. 2017 22:40

Zdravim, mam maticu z ktorej mam urcit definitnost v zavislosti na parametre a.
$\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0\\ 0 & 2 & a\\ 0 & 0& 1 \end{pmatrix}$
po vynasobeni vektorom (x,y,z) zprava a zlava dostavam : 4x^2 + 2y^2 +z^2 + ayz. Viete mi niekto poradit, ako z toho sformulovat nejak rozumne podmienky. Prisiel som na to, ze ak dosadim za a=0, matica bude pozitivne definitna, takisto ale mozem dostat kombinaciou vektora (1,1,1) a a=-10 maticu negativne definitnu. Myslim, ale, ze takto popisat to nebude stacit, a bude to chciet nejak rozumne napisat podmienky. No nejak to tam nevidim. Vedel by mi niekto poradit? Dakujem.

Marian · 19. 12. 2017 13:14 — Editoval Marian (19. 12. 2017 13:15)

↑ aladar:

1. Není mi jasná tvá argumetnace v případě a = -10. A pokud do toho budeš tahat konkrétní vektor, poukazuje to nejspíše na to, že neznáš dobře definici pozitivně, resp. negativně definitní matice. Pokud chceš o nějaké matici tvrdit, že je pozitivně, resp. negativně definitní, má být přece splněna jistá nerovnost pro všechny nenulové vektory (x, y, z).

2. Úloha se dá řešit různými způsoby (nejsem specialistou v tomto oboru). Základní simplifikační procedura však umožňuje snadno přepsat tvou kvadratickou formu na tvar

$4x^2+2y^2+ayz =4x^2+\frac{a+2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}\cdot\left (y\sqrt{2}+z\right )^2+\frac{a-2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}\cdot \left (y\sqrt{2}-z\right )^2.$

Odtud je možné provést diskusi, pro které hodnoty reálného parametru a je daná forma pozitivně/negativně definitiní, resp. indefinitiní.

Matematické Fórum

#1 13. 12. 2017 22:40

Definitnost matice v zavislosti na parametre

#2 19. 12. 2017 13:14 — Editoval Marian (19. 12. 2017 13:15)

Re: Definitnost matice v zavislosti na parametre

Zápatí