Matematické Fórum

Skrytý text:
I have no proof, however, I guess that the sum equals

Skrytý text:

Označíme-li hledanou hodnotu jako s(n,k), tak lze odvodit rekurentní vztah:
(1) s(n,k)=s(n-1,k)+s(n-1,k-1)+s(n-2,k-1)+..+s(k-1,k-1).
Lze ho odvodit tak, že poslední činitel vyjádříme jako () a pro i<k položíme . Potom tedy součiny všech , i od 1 do k (ty odpovídají použití hodnoty z ) tvoří hodnotu s(n-1,k) a součiny všech , i od 1 do k-1 (ty odpovídají použitá hodnoty 1 z ) tvoří hodnoty s(x,k-1), kde x je z {n-1,n-2,..,k-1} - a tak tedy dostáváme rekurentní vztah (1) výše.
Pokud v (1) namísto n položíme n+1, tak získáme
(2) s(n+1,k)=s(n,k)+s(n,k-1)+s(n-1,k-1)+..+s(k-1,k-1).
A porovnáním vztahů (1) a (2) získáme
s(n+1,k)=2s(n,k)+s(n,k-1)-s(n-1,k).
Tady jsem zatím skončil, ale např. by asi nebylo těžké dokázat, že Pavlova hypotéza výše tento vztah splňuje, a že tento vztah může splňovat jediná funkce s(n,k) (spolu s tím, že musí být s(i,i)=1).

Pokračování:
A opravdu to lze, označíme-li jako s(n,k) Pavlův výraz , tak stačí využívat vztah pro kombinační čísla a získáme


a je to.

Skrytý text:
First, I express the sum in another way, next I apply difference calculus on an elementary level, finally I use math induction.

It is not hard to show that the given sum can be expressed in the following way:



where . We define an operator as follows



Then we have



1. Set . Then we can deduce that



2. Similarly we can solve the case when :



From the previous results we can guess that



Prove that using math induction:



Finally we have

Skrytý text:




Now, the calculation of the derivative at x=0 can easily be finished. After performing the final summation of binomial coefficients, you should get the required closed form for the original christmas term.