Matematické Fórum

peack · 18. 04. 2010 11:47

Čtveřice hochů: Adam, Boris, Cyril, David, trávila část prázdnin na chatě u Adamova strýce, který vyučoval matematiku. Jednoho dne byli hoši požádáni, zdali by nepomohli při přípravě dříví na zimu. Že budou za pomoc „bohatě odměněni.“ Hoši ochotně pomáhali.
Po skončení práce si strýc přál, aby si k němu chodili pro odměnu po jednom. Jaké bylo jejich překvapení, když každý dostal jednu pětikorunu. Zároveň jim ale Adamův strýc slíbil, že dostane každý tolik pětikorun, kolikrát si k němu přijdou pro odměnu opět po jednom, ale pokaždé v jiném pořadí. Hoši souhlasili. Kolik Kč mohl maximálně dostat od Adamova strýce každý z hochů?
Uveďte postup řešení.
Každý z hochů mohl maximálně dostat od Adamova strýce ............................

septolet · 18. 04. 2010 12:14

Nějaký nápad máš?

peack · 18. 04. 2010 15:03

Podle toho, kolik můžu udělat čtyřprvkových množin?

septolet · 18. 04. 2010 16:15

Ano. Spočítáme, kolik různých 4 prvkových množin sestavíme z těchto 4 prvků (4 lidí) a přesně tolikrát si každý z nich přijde pro 5 korunu.

frank_horrigan · 18. 04. 2010 16:15

↑ peack:

Dobra, tedy. Nejsem si jist, zda na zakladni skole se setkas s variacemi, permutacemi a kombinacemi, ale pres tyto (konkretne permutace) je to nejelgantnejsi resit. Tedy P(4) = 4!, 4*3*2*1 = 24. Mas tedy 24 moznosti, jak mohou prijit pokazde jinak. 24*5 (Kč) uz si snadno spocitas. Pokud neznas kombinatoriku, muzes si ty varianty rozepsat: cyril,petr,tonda,karel; cyril,petr,karel,tonda; cyril,tonda,karel,petr; c,t,p,k; t,c,p,k ; t,p,k,c .... atd... melo by ti vyjit 24.... Jo, a to x! je ixs faktoriál, pokud nevis :) Jsem ze zakladky uz hodne par let, nepamatuju si presne co je latkou zakladky a co stredni skoly :)

septolet · 18. 04. 2010 16:19

↑ frank_horrigan: Ano, taky si myslím, že toto není učivo ZŠ (možná nějakého kroužku už ano). Já jsem třeba ve 3. ročníku SŠ a kombinatoriku jsme ještě také neměli.

peack · 18. 04. 2010 16:31

Jedná se o přijímací zkoušky na šestileté gymnázium - jsem student 7. třídy zš

Kikča15 · 27. 04. 2010 17:18

ahojky nepomohl by mi prosim někdo s těmito slovnimi ulohami nevim si s nema vůbec rady před děkuji

1) Místa K, L, M leží za sebou na téže silnici. Vzdálenost KL je 14km. Ve 13 hodin vyjel z L
směrem k M cyklista rychlostí 12km/hod, nato ve 14hod. 10min. vyjelo z K rovněž
směrem k M osobní auto rychlostí 68km/hod. Konečně ve 14 hod. 20 min. vyjelo z M
směrem k L nákladní auto rychlostí 45km/hod. Všichni tři se setkali v týž okamžik na
silnici. Kdy došlo k setkání? V jaké vzdálenosti od L to bylo? Jaká je vzdálenost mezi
místy L a M?

2) Dělník A může splnit úkol za 40 hodin, dělník B za 30 hodin. Na daném úkolu začali
pracovat společně. Po jisté době byl dělník B odvolán na jinou, naléhavější práci a dělník A
dokončil práci sám za dalších 5 hodin. Kolik hodin pracovali společně a jaký díl práce
každý z nich vykonal?

3) Pumpou A se naplní nádrž za 12 minut, pumpou B za 24 minut. Za jakou dobu se naplní
nádrž, pracuje-li 3 minuty jen pumpa A a potom obě pumpy současně?

4) Dva dělníci dokončí práci za 12 dní. Kolik dní by pracoval každý z nich, aby tutéž práci
dokončil, jestliže dělník B by ji dokončil o 10 dní později než dělník A ?

Jan Jícha

↑ Kikča15: Zdravím, prostuduj místní pravidla, děkuji :) Pak Tě rádi poradíme.

Chrpa · 27. 04. 2010 20:51 — Editoval Chrpa (28. 04. 2010 10:52)

↑ Kikča15:
1)
Označme: s_1 - vzdálenost, kterou ujede cyklista
t - čas cyklisty
s_2 vzdálenost, kterou ujede nákladní auto
s - vzdálenost míst LM
t_s - čas setkání
Rovnice:
1) $12t=s_1$ cyklista za čas t ujel rychlostí 12 km/h vzdálenost s_1
2) $68\left(t-\frac 76\right)=14+s_1$ -osobní auto ujelo za čas kratší o 1 hodinu a 10 minut než čas cyklisty rychlostí 68 km/h vzdálenost o 14 km delší než cyklista
3) $45\left(t-\frac 43\right)=s_2$ - nákladní auto ujelo za čas o 1 hodinu a 20 minut kratší než cyklista rychlostí 45 km/h vzdálenost s_2
4) $s=s_1+s_2$ - je to vzdálenost míst LM
5) $t_s=13^{\tiny00}+t$
Rovnici 1) dosadíme do rovnice 2) a dostaneme:
$68\left(t-\frac 76\right)=14+12t\nl68t-\frac{476}{6}=14+12t\nl56t=14+\frac{476}{6}\nlt=\frac 53$
Z rovnice 3) určíme vzdálenost s_2
$45\left(t-\frac 43\right)=s_2\nl45\left(\frac 53-\frac 43\right)=s_2\nls_2=15\quad\rm{km}$
Z rovnice 1 dopočítáme vzdálenost s_1
$s_1=12t\nls_1=12\cdot\frac 53\nls_1=20\quad\rm{km}$
Z rovnice 4) dopočítáme vzdálenost míst LM
$s=s_1+s_2\nls=15+20=35\quad\rm{km}$
Určíme čas setkání z rovnice 5)
$t_s=13^{\tiny00}+t\nlt_s=13^{\tiny00}+\frac 53\nlt_s=14\,\frac 23\quad\rm{hodiny}=14:40$
Odpověď:
K setkání došlo v 14:40 hodin 20 km od L a vzdálenost míst LM je 35 km

Ivana · 27. 04. 2010 22:05 — Editoval Ivana (27. 04. 2010 22:06)

↑ Kikča15:
3. Příklad :

Pumpa $A$ naplní

za 1min... $\frac{1}{12}$ nádrže
za 3min... $\frac{3}{12}$ nádrže
za x min... $\frac{x}{12}$ nádrže

Pumpa $B$ naplní

za 1min... $\frac{1}{24}$ nádrže
za xmin... $\frac{x}{24}$ nádrže

Společná práce :
$Pumpa A + Pumpa B$

$\frac{3}{12}+\frac{x}{12}+\frac{x}{24}=1$