Matematické Fórum

Vosus · 26. 05. 2010 16:32 — Editoval Vosus (26. 05. 2010 22:20)

Zdravím, zajtra píšem štvrťročku z matiky v náhradnom termíne, a takto nejako vyzerala tá čo kamoši už písali. Mám problém s príkladmi 2, 3a, 5 a 6a, zvyšok by mal byť O.K. Mohli by ste mi poradiť, prípadne opraviť to čo mám zle? Dík moc.

Dúfam, že slovenčina nevadí.
1.
$\beta = arccotg \frac {x}{3}-arccotg x$
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2.
$\tan \alpha=2$
$\frac {\cos \alpha}{sin \alpha}=2$
${\cos \alpha}=2 {sin \alpha}$
... neviem čo ďalej, niečo som aj skúšal, ale neúspešne
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3.
a)
${\cos 3x}={\cos 2x}-{\cos x}$
b)
${\sin x}={\cos x}+1$
kuk tabuľky hodnôt (0, -1; 1, 0)
$x_1 \in \{\pi+2k\pi\}$
$x_2 \in \{\frac {\pi}{2}+2k\pi\}$
c)
${\cos x}={|\sin x|}+1$
$x \in 2k\pi$
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4.
$b = \frac {2-a}{2a-1}$
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5.
Graf načrtnem, ďalej sa však nepohnem.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6.
a)
Nemám šajn.
b)
$2(x+5)=3x+13$
$x=-3$
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
7.
$3^x \cdot 3^y=3^2 \cdot 5$
$3^x + 3^y=3^2 +5$

$x_1=2$
$y_1=\log_3 5$
$y_2=2$
$x_2=\log_3 5$
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
8.
a)
$x \in (-\inft; -2 \rangle \cup \langle 2; \inft)$
b)
$x \in \langle0; 1) \cup \langle 6; \inft)$

Stýv · 26. 05. 2010 16:51

40 ze 46 že je 100 %? s tim bych poslal matikáře někam

zdenek1 · 26. 05. 2010 17:03

↑ Vosus:
$x^{\log x}+1000x^{-\log x}=110$
substituce $x^{\log x}=a$
$a+\frac{1000}a=110$
$a^2-110a+1000=0$
$(a-10)(a-100)=0$
$a=10$ nebo $a=100$

a) $a=x^{\log x}=10$ zlogaritmovat
$\log(x^{\log x})=\log10$
$\log^2x=1$
$\log x=\pm1$
$x=10$ nebo $x=\frac1{10}$

b) $a=x^{\log x}=100$ zlogaritmovat
$\log(x^{\log x})=\log100$
$\log^2x=2$
$\log x=\pm\sqrt2$
$x=10^{\sqrt2}$ nebo $x=10^{-\sqrt2}$

zdenek1 · 26. 05. 2010 17:13

↑ Vosus:
2.

tangens je "protilehlá ku přilehlé", takže si představ trojúhelník jako na obrázku. Přeponu dopočítáš z Pyth. věty. A sinus a kosinus už je snadný.
Jenže jsme v prvním kvadrantu ale v zadání je třetí kvadrant (protože sin i cos musí mít stejné znaménko).
Ve třetím kv. jsou oba -
$\sin\alpha=-\frac2{sqrt5}$
$\cos\alpha=-\frac1{\sqrt5}$

Vosus · 26. 05. 2010 17:46

↑ zdenek1:
Chápem všetko až na jedno, prečo $\log^2x=\log(x^{\log x})$ ?

zdenek1 · 26. 05. 2010 18:16

↑ Vosus:
$\log x^n=n\log x$
$\log x^{\log x}=\log x\cdot\log x$

jelena · 26. 05. 2010 18:40

↑ Vosus:

Zdravím,
něco se mi nezdá:

a) z pozice ditěte je to výškový újel pod kterým vidí. Když to zakreslím, tak z celkového trojuhelníku odseknu spodní obdélník o výšce 1 m a délce x, zůstane trojuhelník o ovesné svislé 3 metry a vodorovné x. Proto to, co je v ráměčku, nemá být ve vzorci.

$\beta = arccotg \frac {x}{3}\boxed{-arccotg x}$

3a) upravit na ${\cos 3x}+\cos x={\cos 2x}$ a použit součtový vzorec.

Řešení goniometrických rovnic si překontroluj třeba tady - příklad zadání.

4) $b = \frac {2-a}{2a-1}$ mi vyšla stejně.

5) kde pretiná jsou průsečíky, tedy pro x=1 je y=0 a také x=0 je y=-4 - sestavit soustavu rovnic.

8a) mam hranici intervalu (-oo, -2)U(2, +oo)

8b) uvažoval jsi i možnost základu x od (0, 1)? nebo jen základ větší než 1?

Je to jen tak zběžně kontrolováno.

Vosus · 26. 05. 2010 19:27

↑ jelena:
1.
a) Ak dobre chápem, pod výškovým uhlom sa v tomto prípade myslí ten zelený a nie ten žltý? Ale veď socha začína vyššie nie? Pod ňou je ešte ten podstavec.

8.
a) Spravil som chybu pri opisovaní, ale ďakujem aj tak.
b) Základ od 0 do 1 ma ani nenapadol, ale už som ho doplnil.

3a) a 5) skúsim.

jelena · 26. 05. 2010 19:30

↑ Vosus: ano, s úhlem máš pravdu - otázka je na zorný úhel (ne na výškový, špatně jsem tomu rozuměla). Omluva.

Vosus · 26. 05. 2010 20:18

↑ jelena:
3a)
${\cos 3x}+\cos x={\cos 2x}$
${\cos 3x}={\cos 2x}-{\cos x}$

${2\cos \frac {4x}{2}\cos \frac {2x}{2}={\cos 2x}$
$\cos x=\frac {1}{2}$
$x \in \{\frac {\pi}{3}+2k\pi\}$

5)
$y=0;x=1$
$0=a \cdot 2^{b+c}+d$

$y=-4;x=0$
$-4=a \cdot 2^{c}+d$

Zo zadania:
$-2=a \cdot 2^{-c}$

3 rovnice, 4 neznáme :/

jelena · 26. 05. 2010 20:29

↑ Vosus:

ještě d=4.

Vosus · 26. 05. 2010 20:58

↑ jelena:
$d=4$
$-4=a \cdot 2^{c}+4$
$-2=a \cdot 2^{-c}$

$-8=a \cdot 2^{c}$
$-8=a \cdot 2^{2-c}$
$c=1$
$a=-4$
$b=-1$

Mam tam nieco zle?

jelena · 26. 05. 2010 21:12

↑ Vosus:

myslím, že to je v pořádku, stroj také souhlasí.

Vosus · 26. 05. 2010 22:38

↑ zdenek1:
↑ jelena:
Ďakujem obom, snáď sa zajtra zadarí :)

jelena · 26. 05. 2010 22:47

také děkuji, goniometrické rovnice jsem poslala kontrolovat ke strojům, ale tady musím upozornit:

${2\cos \frac {4x}{2}\cos \frac {2x}{2}={\cos 2x}$

${2\cos {2x}\cos x-{\cos 2x}=0$

$\cos {2x}(2\cos x-1)=0$ tedy kořenů je malo, oprav si to ještě.

Ať se zítra zadaří.

Vosus · 27. 05. 2010 00:22

↑ jelena:
Áno, chýba mi tam ešte $x \in \{\frac {\pi}{2}+2k\pi\}$ a $x \in \{\frac {3\pi}{2}+2k\pi\}$ . Snáď je to už všetko :)

jelena · 27. 05. 2010 00:49

tam toho chybá:...

$\cos {2x}(2\cos x-1)=0$

$\cos {2x}=0$

$2x=\frac {\pi}{2}+k\pi$ to jsou rovnou napsány 2 kořeny (proto je taková perioda),

odsud vyjádřéme x:

$x=\frac {\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}$

další kořen:
$(2\cos x-1)=0$
$\cos x=\frac{1}{2}$

$x=\frac {\pi}{3}+2k\pi$

$x=-\frac {\pi}{3}+2k\pi$