Matematické Fórum

check_drummer · 12. 07. 2010 22:23

Ahoj,
mějme posloupnost $a_n$ splňující:
a) $a_n$ jsou kladná reálná čísla
b) $\lim_{n\to\infty}a_n=0$

Dokažte nebo vyvraťte následující dvě tvrzení:
1) Pro každou posloupnost $a_n$ splňující výše uvedené body a), b) existuje ostře rostoucí funkce f z $\mathbb{R}^+$ do $\mathbb{R}^+$ , že
$\sum_{n=1}^{\infty}f(a_n)$ konverguje.

2) (silnější tvrzení, funkce nezávisí na definici posloupnosti): Existuje ostře rostoucí funkce f z $\mathbb{R}^+$ do $\mathbb{R}^+$ , že pro každou posloupnost $a_n$ splňující výše uvedené body a), b) platí:
$\sum_{n=1}^{\infty}f(a_n)$ konverguje.

(Pozor, v obou případech f nezávisí na indexu prvku posloupnosti.)

Řešení neznám, úloha mě napadla dnes.

Pavel Brožek

Ahoj

a)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

b)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Olin · 13. 07. 2010 00:01 — Editoval Olin (13. 07. 2010 00:04)

1)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

2)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

jarrro · 13. 07. 2010 09:03

čo treba pridať k predpokladom ,aby bod b platil?

Rumburak

↑ jarrro:
Z elegantního a přehledného důkazu podaného v příslušné části příspěvku od kolegy Brožka ↑ BrozekP: jsem si odnesl názor,
že zde žádné přidané předpoklady kladené na funkci f nepomohou.

jarrro · 13. 07. 2010 10:16

↑ Rumburak:myslel som skôr na postupnosť a_n,že nie len nulová limita a kladné,ale niečo silnejšie

Rumburak

↑ BrozekP: na vědomí ↑ jarrro:

Ahoj,

dodatečně si uvědomuji, že v Tvém důkazu bodu 2, který se mi na první pohled tolik líbil, je bohužel zádrhel:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

jarrro · 13. 07. 2010 11:10

↑ Rumburak:Olin to obišiel čiže taká funkcia neexistuje,ale nedá sa pridať nejaký ďalší predpoklad o a_n okrem nulovej limity a kladnosti,aby taká funkcia pre postupnosti spĺňajúce tie podmienky existovala?

Rumburak

↑ jarrro:
V tuto chvli netuším, příležitostně zkusím zapřemýšlet, i když letní dny nejsou takovým snahám moc příznivy .

Olin · 13. 07. 2010 13:40

Tak si to zkusme docela dost oslabené:

Rozhodněte, zda existuje rostoucí funkce $f \, : \, \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ taková, že řada
$\sum_{n=1}^{\infty}f(n^{-\alpha})$
konverguje pro každé $\alpha > 0$ .

check_drummer · 13. 07. 2010 21:47

↑ Olin:
Co třeba $f(x)=\frac{1}{e^{\frac{1}{x}}}$ ?

check_drummer · 14. 07. 2010 19:46

↑ Rumburak:

Co např. technicky dodefinovat $f^{-1}$ ve "zlobivých" bodech jako $f^{-1}(x)=inf\{y;f(y)>x\}+dx$ pro nějaké "dostatečně malé" d (dx zde neznamená znak diference)?

S tím souvisí ještě jedna věc, že je nutné ukázat (a toho jsem si výše nevšiml, že by k tomu došlo), že platí $\lim_{n\to\infty} f^{-1}$\frac1n$ = 0$ , což by díky vlastnosti f: bodu b) a nutné konvergence sumy plus díky volbě $f^{-1}$ mělo platit (důkaz však nepodávám).

jarrro · 14. 07. 2010 20:30

ak tá funkcia splňuje podmienku tak rad $\sum_{n=1}^{\infty}{f\left(\frac{1}{n}\right)}$ konverguje teda je
$\lim_{n\to\infty}{f\left(\frac{1}{n}\right)}=0$ teda aj $\lim_{x\to 0}{f\left(x\right)}=0$ grafy inverzných funkcií sú súmerne združené podľa y=x teda musí byť aj $\lim_{x\to 0}{f^{-1}\left(x\right)}=0$ teda aj $\lim_{n\to\infty}{f^{-1}\left(\frac{1}{n}\right)}=0$ nezaručujem správnosť

Marian · 22. 07. 2010 16:07 — Editoval Marian (22. 07. 2010 16:08)

Nejprve uvedu jednu definici a potom větu, která je známa a mohla by se hodit k diskutovanému tématu.

______________________________
Definice (zachovávání konvergence nekonečné řady). Funkce $f:\; \mathbb{C}\mapsto\mathbb{C}$ zachovává konvergenci řady $\textstyle\sum\nolimits_{n=1}^{\infty}a_n$ , jestliže pro každou konvergentní řadu $\textstyle\sum\nolimits_{n=1}^{\infty}a_n$ s komplexními členy její transformace $\textstyle\sum\nolimits_{n=1}^{\infty}f(a_n)$ konverguje.
______________________________

A nyní slibované tvrzení ...

______________________________
Věta. (A) Funkce $f:\;\mathbb{C}\mapsto\mathbb{C}$ zachovává konvergenci řady tehdy a jen tehdy, jestliže je spojitá v jistém sférickém okolí bodu $(0,0)\in\mathbb{C}$ a existuje takové $\delta >0$ , že platí:
(i) jestliže $|x|<\delta$ , $|y|<\delta$ , $|x+y|<\delta$ , potom $f(x+y)=f(x)+f(y)$ ;
(ii) jestliže $\alpha\in\mathbb{R}$ a $|x|<\delta$ , potom $f(\alpha x)=\alpha\cdot f(x)$ .

(B) Funkce $f:\;\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$ zachovává konvergenci řady tehdy a jen tehdy, jestliže existuje takové $\delta >0$ a $\gamma\in\mathbb{R}$ , že pro všechna $x\in (-\delta ,\delta)$ platí $f(x)=\gamma\cdot x$ (tedy $f$ je lineární v nějakém okolí bodu $0\in\mathbb{R}$ ).

______________________________

Větu lze nalézt v knize Šalát Tibor. Nekonečné rady. Academia, Praha 1974. na stránkách 84 a 85. Důkaz tvrzení je v téže knize na stránkách 85, 86 a 87.

Olin · 23. 07. 2010 06:43

Dokážete uvést příklad takové řady, že
$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$
konverguje, ale
$\sum_{n=1}^{\infty} a_n^3$
diverguje?

Pár poznatků, co musí řada splňovat:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

jarrro · 23. 07. 2010 08:50

↑ Olin:už sa riešilo

Matematické Fórum

#1 12. 07. 2010 22:23

Transformace členů sumy na konvergentní sumu

#2 12. 07. 2010 23:50 — Editoval BrozekP (12. 07. 2010 23:57)

Re: Transformace členů sumy na konvergentní sumu

#3 13. 07. 2010 00:01 — Editoval Olin (13. 07. 2010 00:04)

Re: Transformace členů sumy na konvergentní sumu

#4 13. 07. 2010 09:03

Re: Transformace členů sumy na konvergentní sumu

#5 13. 07. 2010 09:10 — Editoval Rumburak (13. 07. 2010 09:15)

Re: Transformace členů sumy na konvergentní sumu

#6 13. 07. 2010 10:16

Re: Transformace členů sumy na konvergentní sumu

#7 13. 07. 2010 10:54 — Editoval Rumburak (13. 07. 2010 13:09)

Re: Transformace členů sumy na konvergentní sumu

#8 13. 07. 2010 11:10

Re: Transformace členů sumy na konvergentní sumu

#9 13. 07. 2010 11:19 — Editoval Rumburak (13. 07. 2010 11:25)

Re: Transformace členů sumy na konvergentní sumu

#10 13. 07. 2010 13:40

Re: Transformace členů sumy na konvergentní sumu

#11 13. 07. 2010 21:47

Re: Transformace členů sumy na konvergentní sumu

#12 14. 07. 2010 19:46

Re: Transformace členů sumy na konvergentní sumu

#13 14. 07. 2010 20:30

Re: Transformace členů sumy na konvergentní sumu

#14 22. 07. 2010 16:07 — Editoval Marian (22. 07. 2010 16:08)

Re: Transformace členů sumy na konvergentní sumu

#15 23. 07. 2010 06:43

Re: Transformace členů sumy na konvergentní sumu

#16 23. 07. 2010 08:50

Re: Transformace členů sumy na konvergentní sumu

Zápatí