Matematické Fórum

frk · 13. 08. 2010 15:40 — Editoval frk (13. 08. 2010 15:42)

Nějak jsem se zasekl - mohli byste mi poradit? Potřeboval bych, prosím, vypočíst otisklou plochu čtyřbokého jehlanu, který má vrcholový úhel α, délka úhlopříček je totožná a rovna hodnotě d. Předem děkuji!

teolog · 13. 08. 2010 17:03

↑ frk:
Rád bych Vám pomohl, ale nevím, co je:

1) otisklá plocha jehlanu, je tím myšlen povrch? Nebo něco jiného?
2) vrcholový úhel, je tím myšlen úhel při vrcholu jehlanu, který svírají protilehlé stěny? Nebo protilehlé hrany? Nebo ještě něco jiného?
3) úhlopříčka, je tím myšlena úhlopříčka podstavy? Nebo nějaká jiná úhlopříčka?

frk · 16. 08. 2010 10:07

↑ teolog: Omlouvám se za zadání -
1) jedná se o povrch pláště jehlanu bez podstavy,
2) vrcholovým úhelem, je myšlen ten úhel, který svírají protilehlé stěny (i když druhá varianta zní také zajímavě),
3) jedná se o úhlopříčky ve čtvercové podstavě jehlanu.
Ještě jednou se omlouvám a příště se budu vyjadřovat přesněji.

Cheop · 16. 08. 2010 10:23 — Editoval Cheop (16. 08. 2010 13:00)

↑ frk:
Pokud jsem úlohu dobře pochopil a dobře spočítal, tak
předmětný povrch vychází:
$S_{pl}=\frac{d^2\cdot\sin\,\alpha}{2(1-\cos\,\alpha)}=\frac{d^2(1+\cos\,\alpha)}{2\cdot\sin\,\alpha}$
PS:
Jo mám to blbě.
Mazat to nebudu, aby ostatní viděli, že ne vždy se daří.

frk · 16. 08. 2010 11:00

↑ Cheop:
Nevím. Výsledek by měl být (d^2)/(2*sin(α/2)), ale nejsem schopen se k němu dohrabat bez dalších goniometrických fcí.

teolog · 16. 08. 2010 11:55

↑ frk:
↑ Cheop:

Mě to vyšlo $S_{pl}=\frac{d^2\left(\cos{\frac{\alpha}{2}}\right)}{\sin{\alpha}}$ , což by mělo být totéž, co uvádí frk, jen v jiné podobě.
Ale nedaří se mi (nebo spíš nechce) převést jednu variantu na tu druhou.

Mr.Pinker

↑ teolog:
$S_{pl}=\frac{d^2\left(\cos{\frac{\alpha}{2}}\right)}{\sin{\alpha}}=\frac{d^2\cos{\beta}}{\sin{2\beta}}=\frac{d^2\cos{\beta}}{2\sin{\beta}\cos{\beta}}=\frac{d^2}{2\sin{\frac{\alpha}{2}}$

Spybot · 16. 08. 2010 12:39 — Editoval Spybot (18. 08. 2010 01:18)

↑ frk:
Najprv s pouzitim uhlopriecky zistime, aka dlha je hrana podstavy $a$ . To by asi nemal byt problem, je to $a=\frac{d}{\sqrt{2}}$ . Teraz najdeme pravouhly trojuholnik. Jeho jedna strana je kolma na podstavu a vychadza z priesecnika uhlopriecok (a ide k vrcholu). Dalsou stranou (preponou) je vyska trojuholnika, ktory tvori bocnu stenu. Tretia strana spaja priesecnik uhlopriecok a hranu podstavy tak, ze je na hranu podstavy kolma (nakresli si to, ak som to zle opisal). Hodilo by sa nam zistit prave tu vysku bocnej steny, preto vyuzijeme tento vytvoreny pravouhly trojuholnik a vhodnu goniom. funkciu. $sin(\frac{ \alpha}{2})=\frac{\quad \frac{a}{2} \quad }{v}=\frac{d}{2sqrt2 \cdot v}$ $v=\frac{d}{2sqrt2 \cdot sin(\frac{\alpha}{2})$ Zistime obsah steny: $S'=\frac{av}{2}= \frac{d^2}{8 \cdot sin(\frac{\alpha}{2})}$ A vynasobime styrmi. $S=4S'= \boxed{ \frac{d^2}{2 \cdot sin(\frac{\alpha}{2})}}$