Matematické Fórum

Partyboy1

Ahoj, prosím, aby mi někdo pomohl s tímto problémem: Snažím se odvodit vzorec pro výpočet obvodu kružnice.
Obvod n-úhelníka mám: 2*r*n*sin(pí/n). r je poloměr, n je počet vnitřních úhlů. Kružnice je limitní případ n-úhelníka, proto zavádím:
lim 2*r*n*sin(pí/n). n jdoucí k nekonečnu. Teď si už nevím rady s řešením limity. Poprosil bych i o postup. Předem děkuji.

Přesunuto z jiného tématu:

Olin napsal(a):
↑↑ Partyboy1:

Zdravím, jde o zajímavý dotaz, přesto doporučuji nejprve prostudovat pravidla, konkrétně bod 2 - navrhuji tedy založit nové téma k problému. Jen napovím, že uvedenou limitu lze spočíst pomocí "základní" limity $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ .

Partyboy1 · 26. 09. 2010 16:35

lim sin(x)/x. x jdoucí k nule. (Pro připomenutí).
Předpokládám, že počet vrcholů n nahradím "nějak" tím x, ale nevím jak, a nevím, co to x v tomhle případě znamená.

lukaszh · 26. 09. 2010 17:10

↑ Partyboy1:

Môžeme označiť pre názornosť

$x_n=\frac{1}{n}$

dostaneme limitu

$O(r)=2r\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{\sin(\pi x_n)}{x_n}$

Je zrejmé, že limita postupnosti $x_n$ je nula. Pokiaľ budeme uvažovať limitu funkcie

$\lim_{x\to0^+}\frac{\sin(\pi x)}{x}$

tak táto existuje a rovná sa $\pi$ . Preto bude existovať aj pôvodná limita postupnosti, pričom $x_n$ je špeciálny prípad "približovania sa" k nule. Celkovo teda

$O(r)=2\pi r$

Partyboy1 · 26. 09. 2010 23:48

Děkuji za odpověď. Jestli jsem to správně pochopil, tak $x_n=\frac{1}{n}$ vyjadřuje, jakou část obvodu zabírá 1 strana n-úhelníka. Když se počet vrcholů (stran) blíží nekonečnu, poměr se blíží nule... Z tohoto vzorce si vyjádřím n (1/x) a nahradím jím n v tomto vzorci: 2*r*n*sin(pí/n).
Ale mám ještě dotazy:
1) Jak je byste dokázal, že $\lim_{x\to0^+}\frac{\sin(\pi x)}{x}$ je rovna $\pi$ a proč se x blíží nule zprva (0+).
2) Proč lim $x_n$ , Xn jdoucí k nule, není nula. To nechápu vůbec.

Partyboy1 · 27. 09. 2010 00:20

Tak 1. část dotazu číslo jedna beru zpět. $\lim_{x\to0^+}\frac{\sin(\pi x)}{x}$ - použiji Lhopithalovo pravidlo (cos(pí*x)*pí/1, což je pí).

Partyboy1 · 27. 09. 2010 22:50

Tak beru zpátky i 2. otázku, už jsem to pochopil beze zbytku. Stačilo si to jen napsat. Díky.

lukaszh · 27. 09. 2010 23:22

↑ Partyboy1:

Predsa by som sa vrátil k otázke, prečo sa blížime k nule z pravej strany. No zľava sa nemôžeme blížiť (v tomto konkrétnom príklade), pretože blíženie zľava by zahŕňalo aj záporné hodnoty. My máme konvergenciu len kladných čísel

$\frac{1}{2}\;\frac{1}{3}\;\frac{1}{4}\;\cdots\;\frac{1}{2010}\;\cdots\;\to\;0$

Obrázok s postupnosťou bodov konvergujúcich k nule z pravého okolia nuly

Olin · 28. 09. 2010 12:13

↑ Partyboy1:
K té první části dotazu bych se raději ještě taky vrátil - l'Hospitalovo pravidlo by asi použít šlo, ovšem tento postup stojí na dvou poměrně netriviálních tvrzeních: 1) samotné l'Hospitalovo pravidlo a 2) že derivace sinu je kosinus. Pokud bychom se snažili dokázat to druhé, nejspíš bychom opět došli k problému výpočtu $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ , tudíž výpočet této limity l'Hospitalovým pravidlem "není fér". Tento problém se v praxi řeší různě, záleží totiž na tom, jak definujeme funkci sinus - běžná vysokoškolská definice obsahuje mimo jiné to, že tato limita se rovná nule (tedy není co dokazovat). Lze však provést důkaz i na základě středoškolské definice pomocí jednotkové kružnice, poměrně hezky je to vysvětleno zde, jde o využití věty známé jako "o třech limitách" nebo "o dvou policajtech" (v angl. squeeze theorem), který je zase zde (jde jen o představu, ne o korektní důkaz).

Matematické Fórum

#1 26. 09. 2010 16:29 — Editoval BrozekP (26. 09. 2010 16:43)

Obvod kružnice- odvození

Olin napsal(a):

#2 26. 09. 2010 16:35

Re: Obvod kružnice- odvození

#3 26. 09. 2010 17:10

Re: Obvod kružnice- odvození

#4 26. 09. 2010 23:48

Re: Obvod kružnice- odvození

#5 27. 09. 2010 00:20

Re: Obvod kružnice- odvození

#6 27. 09. 2010 22:50

Re: Obvod kružnice- odvození

#7 27. 09. 2010 23:22

Re: Obvod kružnice- odvození

#8 28. 09. 2010 12:13

Re: Obvod kružnice- odvození

Zápatí