Matematické Fórum

strawberry · 14. 09. 2007 18:36 — Editoval Kondr (14. 09. 2007 18:55)

Pomůže mi někdo s bikvadratickou rovnicí
$x^4-7x^2+10 =0$

a dalsi uloha
Určete, pro které hodnoty reálného parametru má rovnice:
$16x^2 +8(4t-1)x -8t +5=0$

Omlouvam se za snizenou kvalitu ale neumim mocnicny psat předem děkuji:-)

xlanca · 14. 09. 2007 19:05

První úloha:
Uděláš si substituci y = x^2 a dosadíš do rovnice:
y^2 - 7y + 10 = 0. Podle vzorečku pro kvadratickou rovnici si vypočítáš y, mělo by ti vyjít y1 = 5, y2 = 2.
Dosadíš do y = x^2:
5 = x1^2, vyjde + a - druhá odmocnina z 5 a
2 = x2^2, vyjde + a - druhá odmocnina ze dvou.
PS: Vzorec pro kvadratickou rovnici je: x = (-b +- odmocnina z (b^2 - 4*a*c))/(2a), podle obecný rovnice ax^2 + bx + c = 0.

Druhá úloha:
Pro které hodnoty reálného parametru má rovnice: ale co má mít? Jen reálný kořen, nebo nějakej určitej kořen?

strawberry · 14. 09. 2007 19:54

Teb druhej příklad je definovanej . Určete , pro které hodnoty reálného parametru má rovnice a ted je tu ta rovnice a za ni je este , kde t je parametr, v R dva kořeny stej¨ných znamínek.Nic víc:-)

strawberry · 14. 09. 2007 19:56

¨jo a mohla by jsi mi to prosim vice rozepsat aj ten prvni priklad ja to opotrebuji do pondelka a neumim to dekuji:"-)

Kondr · 14. 09. 2007 20:21 — Editoval Kondr (14. 09. 2007 20:33)

Ad mocniny: dopručuji používat symbol ^ (přepnout na anglickou klávesnici a Shift+6 -- 6 co je pod F6, ne na numerické klávesnici; na české klávesnici ho lze napsat pomocí Ctrl+Alt+š, třeba zmáčknout dvakrát a pak jeden znak smazat).
Takto vysázeným mocninám matematici rozumí (viz odkazovaná konvence), pokud vzorec s takovými mocninami umístíš mezi $a$ , budou vypadat ještě lépe (viz tvůj příspěvek).

Ad úlohy: u první si všimneme, že x vystupuje pouze v sudých mocninách, můžeme tedy použít substituci $y=x^2$ . Má-li tento krok být více rozepsán, pak:
původní rovnici zapíšeme takto
$(x^2)^2-7x^2+10=0$ , pak za x^2 dosadíme y:
$y^2-7y+10=0$
Pokud neumíme tuto rovnici vyřešit "z hlavy" (součet kořenů musí být 7, součin 10, čemuž vyhovují čísla 2 a 5), najdeme možná y ze vzorce pro kořeny kvadratické rovnice:
$y=\frac{7\pm\sqrt{49-4\cdot1\cdot10}}{2}=\frac{7\pm3}{2}$ ,
vyjde nám tedy 2 a 5.
Pokud je y=5, použijeme vztah, z nějž y vzniklo: $x^2=y$ a dostaneme $x^2=5$ , proto
$x=\pm\sqrt{5}$ .
Pokud je y=2, $x^2=2$ , proto
$x=\pm\sqrt{2}$ .

U druhé úlohy použijeme známé tvrzení, že kvadratická rovnice má dva reálné kořeny, pokud má kladný diskriminant. Vyjádříme diskriminant:
$64(4t-1)^2-4\cdot16\cdot(-8t+5)$ , chceme aby platilo
$64(4t-1)^2-4\cdot16\cdot(-8t+5)>0$ , vydelime 64
$(4t-1)^2-(-8t+5)>0$
$16t^2-8t+1+8t-5>0$
$16t^2-4>0$ , vydelime 4:
$4t^2-1>0$
$(2t-1)(2t+1)>0$
Aby toto platilo, musí být obě závorky kladné nebo obě záporné. To platí na intervalech $(-\infty,-1/2)$
$(1/2, \infty)$ .
Pro t z těchto intervalů má tedy rovnice dva kořeny.

Aby měly kořeny stejné znaménko, použijeme Viétovy vztahy. Ty říkají toto:
Pro kořeny p, q rovnice ax^2+bx+c=0 platí p+q=-b/a, pq=c/a.
Co z toho plyne pro nás? Pokud mají p a q stejné znaménko, je pq=c/a kladné, pokud mají různé znaménko, je pq=c/a záporné. My chceme pq=c/a kladné, proto (-8t+5)/16>0, t<5/8. Proto t musí ležet v intervalu
$(-\infty,-1/2)$ nebo $(1/2, 5/8)$ .

strawberry · 14. 09. 2007 20:36

moc děkuji za pomoc:-)

adminteam1 · 27. 09. 2007 19:19

Prosím o vyřešení této nerovnice v R:

x-5/(2x-1)(x-3) >nebo rovno 0

jelena · 30. 09. 2007 00:13 — Editoval jelena (30. 09. 2007 00:14)

adminteam1 napsal(a):
Prosím o vyřešení této nerovnice v R:

x-5/(2x-1)(x-3) >nebo rovno 0

Predpokladam, ze tomuto zadani chybi zavorky: (x-5) byl citatel zlomku v zadani, ze?,
dovolim si doplnit zavorku do citatele:
(x-5)/(2x-1)(x-3) >nebo rovno 0

1. najdeme nulove body pro kazdou zavorku, jsou to 5, 1/2, 3.
2. Usporadame nulové body od nejmensiho a rozdelime ciselnou osu na intervaly, na kazdem intervalu stanovime znamenko vyrazu zavorky, zmena znamenka nastava pri prechodu pres nulovy bod:

(-oo, 1/2) 1/2 (1/2, 3) 3 (3. 5) 5 (5, + oo)

(x-5) - - - 0 +

(2x-1) - 0 + + +

(x-3) - - 0 + +

__________________________________________________________________
znamenko
(x-5)/(2x-1)(x-3) - + - 0 +

nas bude zajimat pouze takovy interval, kde je (x-5)/(2x-1)(x-3) >nebo rovno 0, tj ma znamenko + , jsou to intervaly (1/2, 3) U (5, + oo).
A kde se to nule rovna - pouze v bode 5 (body 1/2 a 3 nesmime pouzit, nebot pri techto hodnotach jmenovatel bude nulovou a nulou nepodelis).
Proto interval <5, + oo] bude v bode 5 uzavreny.

Vysledek: x nalezi (1/2, 3) U <5, + oo)

Varianta c. 2 - pokud v zadani nema byt zavorka, pak se musi cela leva strana nerovnice nejdriv upravit ke spolecnemu jmenovateli
x-5/(2x-1)(x-3) =( x*(2x-1)(x-3) - 5 ) / (2x-1)(x-3) a postupujeme obdobnym zpusobem, jak jsem jiz popsala. Ovsem vyraz v citateli se musi rotlozit na soucin, coz nebude az tak snadne, proto si myslim, ze bylo pouze ne uplne spravne prepsano zadani.

adminteam1 · 30. 09. 2007 11:11

No jeto ten prvni zpusob blbe sem to napsal:-(ale este sečm se splet ma tam byt 2x+1

jelena · 30. 09. 2007 13:57

pro adminteam1: stane se, pouze oprav hodnotu nuloveho bodu na -1/2 vsude, kde bylo 1/2. Jinak je vse stejne

Matematické Fórum

#1 14. 09. 2007 18:36 — Editoval Kondr (14. 09. 2007 18:55)

nelineárná a bikvadratická rovnice

#2 14. 09. 2007 19:05

Re: nelineárná a bikvadratická rovnice

#3 14. 09. 2007 19:54

Re: nelineárná a bikvadratická rovnice

#4 14. 09. 2007 19:56

Re: nelineárná a bikvadratická rovnice

#5 14. 09. 2007 20:21 — Editoval Kondr (14. 09. 2007 20:33)

Re: nelineárná a bikvadratická rovnice

#6 14. 09. 2007 20:36

Re: nelineárná a bikvadratická rovnice

#7 27. 09. 2007 19:19

Re: nelineárná a bikvadratická rovnice

#8 30. 09. 2007 00:13 — Editoval jelena (30. 09. 2007 00:14)

Re: nelineárná a bikvadratická rovnice

adminteam1 napsal(a):

#9 30. 09. 2007 11:11

Re: nelineárná a bikvadratická rovnice

#10 30. 09. 2007 13:57

Re: nelineárná a bikvadratická rovnice

Zápatí