Matematické Fórum

Fhact0r · 27. 11. 2010 22:59

Tětivový čtyřúhelník ABCD má navzájem kolmé úhlopříčky a je vepsán do kružnice se středem S. Dokažte, že lomená čára ASC jej dělí na dvě části se stejným obsahem.

Nakreslil sem si to, ale nejak nemuzu dojit na neco pouzitelneho. Nejaky hint? Dik.

jelena · 28. 11. 2010 11:10

↑ Fhact0r:

Zdravím,

uvažovala jsem středové a obvodové úhly nad úsečkami AB, CD a pokus se dopracovat ke vzorci $S=\frac{1}{2}bc\sin \alpha$ (zde mám v obecném zápisu, není to pro konkrétní označení v zadaném trojúhelníku) tak, abych dokázala, že protější trojúhelníky ASB a DSC (podobně 2. dvojice trojůhelníků) mají stejný obsah, ale celé se mi to ještě nepodařilo.

Snad někdo z místních geometrů.

OT: je možné přidat komentár k úloze o troúhelníkovém biliardu? děkuji.

Fhact0r

↑ jelena:
Zkusil sem to s tim stredovym a obvodovym uhlem jak si rikala a jde to, jenomze sem se zasekl na jedne veci (mozna banalite) - jak mam dokazat, ze sou dva na obrazku vyznacene uhly vzdy shodne?

jelena · 28. 11. 2010 23:00

↑ Fhact0r:

děkuji, označila jsem průsečík úhlopříček X a úhel ADX je $\alpha/2$ (alfa je ASB). Úhel DAX je $\beta/2$ (beta je DSC).

v trojúhleníku AXD $\alpha/2 + \beta/2=90^{\circ}$ a někdy tady jsem se ztratila.

Jak teď vidím na obrázku, tak bych už snad dovyjádřovala. Stačí tak?

Fhact0r · 28. 11. 2010 23:37

↑ jelena:
Jo staci, dik.

Kondr · 28. 11. 2010 23:44 — Editoval Kondr (28. 11. 2010 23:45)

Goniometrie je pěkná, lze to ale řešit i synteticky: průsečík BS s kružnicí nazveme D', obsah ABCS je shodný s obsahem AD'CS (oba se skládají z trojúhelníků se společnými výškami a základnami rovnými poloměru). Zbývá ukázat, že AD'CS je shodný s ADCS. No ale není těžké ukázat, že D a D' jsou osově souměrné podle osy úsečky AC a tudíž tato osová souměrnost zobrazuje AD'CS na ADCS.

EDIT: vidím, že původní řešení vedlo k cíli rychleji, než jsem toto sepsal :)

Matematické Fórum

#1 27. 11. 2010 22:59

Geometricky dukaz

#2 28. 11. 2010 11:10

Re: Geometricky dukaz

#3 28. 11. 2010 22:31 — Editoval Fhact0r (28. 11. 2010 22:36)

Re: Geometricky dukaz

#4 28. 11. 2010 23:00

Re: Geometricky dukaz

#5 28. 11. 2010 23:37

Re: Geometricky dukaz

#6 28. 11. 2010 23:44 — Editoval Kondr (28. 11. 2010 23:45)

Re: Geometricky dukaz

Zápatí