Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 23. 01. 2011 11:04

11TomaS11
Zelenáč
Příspěvky: 10
Reputace:   
 

integrály-logaritmy

Zdravím, potřeboval bych pomoci s řešením integrálů, vždycky se zaseknu na funkci "ln"
Napište mi prosím přesně řešení tohoto příkladu (metodou PER-PARTES): $\int\ x^2*lnx dx=???$

Tady u toho zlomku mám ten samý problém: $\int\ 2x^3 - 3x^2 + x + \frac{2x}{x^2-1}dx=???$

Jde mi hlavně o přesné řešení výpočtu, protože vždycky nezvládám ty logaritmy, tak abych to pochopil.
Díky předem.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) jelena)

#2 23. 01. 2011 11:31

petrkovar
Veterán
Místo: Ostrava/Paskov
Příspěvky: 996
Pozice: VŠB - TU Ostrava
Reputace:   23 
Web
 

Re: integrály-logaritmy

Smysluplné není napsat přesné řešení, ale navést tazatele, aby jej sám uměl najít.
U prvního příkladu zvolíme ve vztahu per partes $u = \ln x$ za nederivovanou funkci (a budeme ji derivovat). Funkci $v' = x^2$ volíme za derivovanou funkci (a budeme ji integrovat).

U druhého příkladu je problémem jistě jen poslední zlomek. Doporučuji si všimnout, že čitatel je derivací jmenovatele. Buď na to máte přímo vzoreček a nebo substitucí za jmenovatele snadno najdeme integrát.

Offline

 

#3 23. 01. 2011 17:20

11TomaS11
Zelenáč
Příspěvky: 10
Reputace:   
 

Re: integrály-logaritmy

↑ petrkovar:
Ten první mi už vyšel takto: $lnx*\frac{x^3}{3}-\frac{1}{3}*\frac{x^4}{4}+C$ je to dobře ??

U druhého pořád nevím jak to vyřešit pomocí substituce. A ano, jde mi jen o ten zlomek, to ostatní zvládám.

Offline

 

#4 23. 01. 2011 17:40 — Editoval easy (23. 01. 2011 17:46)

easy
Místo: Edinburgh
Příspěvky: 305
Reputace:   
 

Re: integrály-logaritmy

Zdravím,

$ \int \frac{2x}{x^2 -1} dx \nl \nl u = x^2 -1 \nl du = 2x dx \nl dx = \frac{du}{2x}$

$ \int \frac {2x}{u} . \frac{du}{2x} $

Dál už to určitě zvládneš.

Ohledně toho prvního, myslím, že jsi udělal chybu při aplikaci vzorce pro intergraci per partes. Mě po dosazení vychází
$ \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{1}{3} \int x^2 dx$


Computer Science at University of Edinburgh

Offline

 

#5 23. 01. 2011 18:14

11TomaS11
Zelenáč
Příspěvky: 10
Reputace:   
 

Re: integrály-logaritmy

↑ easy:
Takhle jsem počítal ten první: $\int\ x^2*lnx dx=lnx*\frac{x^3}{3}-\int\ \frac{1}{x}*\frac{x^3}{3}=lnx*\frac{x^3}{3}-\int\frac{x^3}{3}=lnx*\frac{x^3}{3}-\frac{1}{3}*\int\frac{x^3}{3}=lnx*\frac{x^3}{3}-\frac{1}{3}*\frac{x^4}{4}+C$

A ten druhý pořád nevím jak dál, asi jsem úplně blbej :D. To nahrazení pomocí substituce už jsem rozluštil podle vašeho postupu, ale pak jsem zase ztracenej když mám integrovat ty 2 zlomky který jsou ještě v součinu.

Offline

 

#6 23. 01. 2011 18:29 — Editoval teolog (23. 01. 2011 18:32)

teolog
Místo: Praha
Příspěvky: 3497
Škola: MFF + PřF UK
Pozice: Gymnázium Přírodní škola - učitel (M, Z)
Reputace:   167 
 

Re: integrály-logaritmy

↑ 11TomaS11:
$\int{\frac{1}{x}\cdot \frac{x^3}{3}}=\frac13\int{x^2}$

EDIT: Pardón, že jsem do toho vstoupil. Koukám, že to bylo zbytečné.

Offline

 

#7 23. 01. 2011 18:31 — Editoval easy (23. 01. 2011 18:35)

easy
Místo: Edinburgh
Příspěvky: 305
Reputace:   
 

Re: integrály-logaritmy

V prvním příkladě je chyba ve zjednodušování z druhého kroku na třetí. Zapomínáš dělit $x$.

Správně má být:
$ \frac{x^3}{3} \ln x - \int \frac{1}{x} . \frac{x^3}{3} dx$ - toto je tvůj druhý krok, zjednodušení výrazu u integrálu potom vypadá takto: $\frac{x^3}{x} = x^2$.

2)

Když dostaneš $ \int \frac {2x}{u} . \frac{du}{2x} $ tak pak jen zjednoduššíš. $ \int \frac {du}{u} $ a integrál $ \int \frac{dx}{x} =\ln {|x|} + C$. Samozřejmě v tvém případě integruješ $u$, za které musíš po integraci dosadit původní hodnotu $u$ ze substituce.


Computer Science at University of Edinburgh

Offline

 

#8 23. 01. 2011 19:44

11TomaS11
Zelenáč
Příspěvky: 10
Reputace:   
 

Re: integrály-logaritmy

Tak ten první příklad už jsem snad pochopil, počítal jsem si to na papír a pak při opisování do toho "TeX" tady na foru jsem se upsal a misto $x^2$ jsem napsal $x^3$.

Nad tou substitucí jdu ještě na chvilku bádat, tak díky za pomoc všem.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson