Matematické Fórum

11TomaS11 · 23. 01. 2011 11:04

Zdravím, potřeboval bych pomoci s řešením integrálů, vždycky se zaseknu na funkci "ln"
Napište mi prosím přesně řešení tohoto příkladu (metodou PER-PARTES): $\int\ x^2*lnx dx=???$

Tady u toho zlomku mám ten samý problém: $\int\ 2x^3 - 3x^2 + x + \frac{2x}{x^2-1}dx=???$

Jde mi hlavně o přesné řešení výpočtu, protože vždycky nezvládám ty logaritmy, tak abych to pochopil.
Díky předem.

petrkovar · 23. 01. 2011 11:31

Smysluplné není napsat přesné řešení, ale navést tazatele, aby jej sám uměl najít.
U prvního příkladu zvolíme ve vztahu per partes $u = \ln x$ za nederivovanou funkci (a budeme ji derivovat). Funkci $v' = x^2$ volíme za derivovanou funkci (a budeme ji integrovat).

U druhého příkladu je problémem jistě jen poslední zlomek. Doporučuji si všimnout, že čitatel je derivací jmenovatele. Buď na to máte přímo vzoreček a nebo substitucí za jmenovatele snadno najdeme integrát.

11TomaS11 · 23. 01. 2011 17:20

↑ petrkovar:
Ten první mi už vyšel takto: $lnx*\frac{x^3}{3}-\frac{1}{3}*\frac{x^4}{4}+C$ je to dobře ??

U druhého pořád nevím jak to vyřešit pomocí substituce. A ano, jde mi jen o ten zlomek, to ostatní zvládám.

easy · 23. 01. 2011 17:40 — Editoval easy (23. 01. 2011 17:46)

Zdravím,

$\int \frac{2x}{x^2 -1} dx \nl \nl u = x^2 -1 \nl du = 2x dx \nl dx = \frac{du}{2x}$

$\int \frac {2x}{u} . \frac{du}{2x}$

Dál už to určitě zvládneš.

Ohledně toho prvního, myslím, že jsi udělal chybu při aplikaci vzorce pro intergraci per partes. Mě po dosazení vychází
$\frac{x^3}{3} \ln x - \frac{1}{3} \int x^2 dx$

11TomaS11 · 23. 01. 2011 18:14

↑ easy:
Takhle jsem počítal ten první: $\int\ x^2*lnx dx=lnx*\frac{x^3}{3}-\int\ \frac{1}{x}*\frac{x^3}{3}=lnx*\frac{x^3}{3}-\int\frac{x^3}{3}=lnx*\frac{x^3}{3}-\frac{1}{3}*\int\frac{x^3}{3}=lnx*\frac{x^3}{3}-\frac{1}{3}*\frac{x^4}{4}+C$

A ten druhý pořád nevím jak dál, asi jsem úplně blbej :D. To nahrazení pomocí substituce už jsem rozluštil podle vašeho postupu, ale pak jsem zase ztracenej když mám integrovat ty 2 zlomky který jsou ještě v součinu.

teolog · 23. 01. 2011 18:29 — Editoval teolog (23. 01. 2011 18:32)

↑ 11TomaS11:
$\int{\frac{1}{x}\cdot \frac{x^3}{3}}=\frac13\int{x^2}$

EDIT: Pardón, že jsem do toho vstoupil. Koukám, že to bylo zbytečné.

easy · 23. 01. 2011 18:31 — Editoval easy (23. 01. 2011 18:35)

V prvním příkladě je chyba ve zjednodušování z druhého kroku na třetí. Zapomínáš dělit $x$ .

Správně má být:
$\frac{x^3}{3} \ln x - \int \frac{1}{x} . \frac{x^3}{3} dx$ - toto je tvůj druhý krok, zjednodušení výrazu u integrálu potom vypadá takto: $\frac{x^3}{x} = x^2$ .

2)

Když dostaneš $\int \frac {2x}{u} . \frac{du}{2x}$ tak pak jen zjednoduššíš. $\int \frac {du}{u}$ a integrál $\int \frac{dx}{x} =\ln {|x|} + C$ . Samozřejmě v tvém případě integruješ $u$ , za které musíš po integraci dosadit původní hodnotu $u$ ze substituce.

11TomaS11 · 23. 01. 2011 19:44

Tak ten první příklad už jsem snad pochopil, počítal jsem si to na papír a pak při opisování do toho "TeX" tady na foru jsem se upsal a misto $x^2$ jsem napsal $x^3$ .

Nad tou substitucí jdu ještě na chvilku bádat, tak díky za pomoc všem.

Matematické Fórum

#1 23. 01. 2011 11:04

integrály-logaritmy

#2 23. 01. 2011 11:31

Re: integrály-logaritmy

#3 23. 01. 2011 17:20

Re: integrály-logaritmy

#4 23. 01. 2011 17:40 — Editoval easy (23. 01. 2011 17:46)

Re: integrály-logaritmy

#5 23. 01. 2011 18:14

Re: integrály-logaritmy

#6 23. 01. 2011 18:29 — Editoval teolog (23. 01. 2011 18:32)

Re: integrály-logaritmy

#7 23. 01. 2011 18:31 — Editoval easy (23. 01. 2011 18:35)

Re: integrály-logaritmy

#8 23. 01. 2011 19:44

Re: integrály-logaritmy

Zápatí