Matematické Fórum

byk7 · 27. 03. 2011 11:14

Zdravím, prvně, problém mi přijde na SŠ těžký,
ale chtěl bych poprosit o pomoc, jak sečíst řadu
$\sum_{k=2}^{m-2}{m\choose k}(k-1)!\Bigl(m-(k+1)\Bigr)!$

Děkuji

FailED · 27. 03. 2011 11:31 — Editoval FailED (27. 03. 2011 11:35)

${m\choose k}(k-1)!$m-(k+1)$!=m!\cdot\frac{1}{k (m-k)}=(m-1)!\cdot $\frac{1}{k}+\frac{1}{m-k}$$

$\sum_{k=1}^m $\frac{1}{k}+\frac{1}{m-k}$=\sum_{k=1}^m\frac{1}{k}+\sum_{k=1}^m \frac{1}{m-k}=2\sum_{k=1}^m\frac{1}{k}=2H_m$

Harmonická čísla dál upravovat neumíme.

$\frac{1}{k(m-k)}=\frac{1/m}{k}+\frac{1/m}{m-k}$

Pavel Brožek

Rozepiš si binomický koeficient, trochu upravuj. Pak ti zbude suma $\frac{1}{k(m-k)}$ , tak to rolož na parciální zlomky (tj. najdi A a B takové, že $\frac{1}{k(m-k)}=\frac{A}{k}+\frac{B}{m-k}$ , existuje věta, která říká, že taková A a B existují). Rozděl to na dvě sumy, v jedné sčítej od konce, dostaneš tak dvě stejné sumy. Nakonec asi stejně musíš použít definici harmonického čísla, pomocí kterého výsledek vyjádříš.

Edit: Tak máš úplně stejný postup ze dvou zdrojů :-)