Matematické Fórum

FliegenderZirkus · 05. 12. 2011 17:24

Ahoj, potýkám se s tímhle kraťoučkým důkazem:

,

kde $n$ je dimenze vektorového prostoru, $\mathbf{A}$ je libovolný tenzor druhého řádu, $\mathbf{I}$ je jednotkový tenzor ( $\mathbf{I}\textit{\textbf{x}}=\textit{\textbf{x}}, \ \ \forall \textit{\textbf{x}}\in \mathbb E^n$ ),
$\text{sph}\mathbf{A}=\frac{1}{n}\text{tr}(\mathbf{A})\mathbf{I}$ ,
$\text{dev}\mathbf{A}=\mathbf{A}-\frac{1}{n}\text{tr}(\mathbf{A})\mathbf{I}$ ,
$\text{tr}(\mathbf{A})=\mathbf{A}:\mathbf{I}$ , dvojtečka značí skalární součin tenzorů (defnice:)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Nerozumím poslední rovnosti (proč je to nula). Díky za rady.

Pavel Brožek · 05. 12. 2011 18:46

↑ FliegenderZirkus:

Určitě půjde ukázat, že podle té definice je stopa lineární zobrazení. Pak také půjde ukázat, že stopa I je n.

FliegenderZirkus · 06. 12. 2011 01:26

↑ Pavel Brožek:

Určitě platí, že $\text{tr}(\mathbf{A}+\mathbf{B})=\text{tr}\mathbf{A}+\text{tr}\mathbf{B}$ , neboli $(\mathbf{A}+\mathbf{B}):\mathbf{I}=\mathbf{A}:\mathbf{I}+\mathbf{B}:\mathbf{I}$ , protože každý skalární součin musí být distributivní vzhledem ke sčítání, je to jeden z požadavků na skalární součin. To samé platí o násobení skalárem, takže se dá psát
$\text{tr}$\mathbf{A}-\frac{1}{n}\text{tr}\(\mathbf{A}$\mathbf{I}\)=\text{tr}\mathbf{A}-\text{tr}$\frac{1}{n}\text{tr}(\mathbf{A})\mathbf{I}$=\text{tr}\mathbf{A}-\frac{\text{tr}\mathbf{A}}{n}\text{tr}\mathbf{I}=\text{tr}\mathbf{A}-\frac{\text{tr}\mathbf{A}}{n}n=\mathbf{0}$ .
Stopa I by možná šla takhle:
$\text{tr}(\mathbf{I})=\mathbf{I}:\mathbf{I}=I^i_{.j}I_i^{.j}=\delta^i_j \delta^j_i=\delta^i_i=n$ .

Označím za vyřešené, kdybys našel nesrovnalost, tak ještě určitě reuguj! Díky:)

Pavel Brožek · 06. 12. 2011 02:06

$(\mathbf{A}+\mathbf{B}):\mathbf{I}=\mathbf{A}:\mathbf{I}+\mathbf{B}:\mathbf{I}$

Tohle se mi nezdá tak jasné. Ještě se na to později podívám (asi večer).

FliegenderZirkus · 06. 12. 2011 11:51

↑ Pavel Brožek:

Jestli bereme jako dané, že $\mathbf{A}:\mathbf{B}$ skutečně je skalární součin, tak mi to přijde jasné z důvodu uvedeného výše. Jestli to ale nevíme, tak je potřeba dokázat všechny požadavky na vlastnosti skalárního součinu, což v učebnici máme, pro tuto vlastnost konkrétně:
.

Já bych ale řekl, že když dokazuju nějaké tvrzení o vlastnosti stopy tenzoru, která je definovaná pomocí operace „dvojtečka“, tak už bych měl znát vlastnosti této operace, konkrétně že to je skalární součin...

Pavel Brožek · 06. 12. 2011 11:56

↑ FliegenderZirkus:

Asi máš pravdu, pokud píšou, že to je skalární součin (a zvlášť když máte dokázané, že to tak skutečně je), tak bych už nic víc nedokazoval.

Mně nebylo na první pohled jasné, že to je skutečně skalární součin, proto jsem to napsal.

FliegenderZirkus · 06. 12. 2011 12:04

↑ Pavel Brožek:

Tak to už mám pokud jde o tenhle důkaz čisté svědomí, díky za pomoc.

Matematické Fórum

#1 05. 12. 2011 17:24

Rozklad tenzoru

#2 05. 12. 2011 18:46

Re: Rozklad tenzoru

#3 06. 12. 2011 01:26

Re: Rozklad tenzoru

#4 06. 12. 2011 02:06

Re: Rozklad tenzoru

#5 06. 12. 2011 11:51

Re: Rozklad tenzoru

#6 06. 12. 2011 11:56

Re: Rozklad tenzoru

#7 06. 12. 2011 12:04

Re: Rozklad tenzoru

Zápatí