Matematické Fórum

↑ Olin:díky čiže keby bola neprázdna tak by bola okolo ľubovoľného jej bodu guľa , ktorá je celá v nej a obraz tej gule by bol vďaka izometrii opäť tá istá guľa teda je tam spor,lebo tá guľa je podmnožinou doplnku obrazu teda je je to tak?

↑ Olin:pôvodne som myslel,že na tú istú guľu, ale potom som si uvedomil,že nie, ale nejaká guľa okolo stredu s malým polomerom sa zobrazí do tej gule

Dnes dopoledne jsem si uvědomil, že mé původní řešení je špatně, takže bych tu mou "nápovědu" bral s rezervou. Vymyslel jsem ale jedno snad už funkční, tak opět nějaký pokus o návod:

Skrytý text:

nazveme -sítí, pokud každé dva prvky mají vzdálenost aspoň (pod tímto pojmem se často myslí něco jiného, tak to raději definuji).

Všechny -sítě v jsou díky kompaktnosti konečné. Pro každé vezmeme v nějakou maximální -síť , která má zároveň ze všech -sítí největší počet prvků (potřeba rozmyslet). Protože je isometrie, je opět -sítí, která je ovšem opět maximální (potřeba rozmyslet).

↑ Rumburak:a čo s tou postupnosťou?rozmýšlal som, ale nie je konštantná?

↑ jarrro:
Označme  střed koule  , takže    , jak plyne z definice těchto koulí a  faktu, že je isometrie.


I. Nechť nejprve . Z definice koule    plyne, že  .

II.  Když  ,   potom  , proto a podle I. je    ,

odtud a z opětovného použití faktu, že  je isometrie,  indukcí dostáváme    .

Z posloupnosti   proto nelze vybrat takovou, která by splňovala BC podmínku, a tedy ani takovou,
která by byla konvergentní.  To je ale ve sporu s předpokladem o kompaktnosti prostoru .

↑ Rumburak:ďakujem toto by ma nenapadlo aj pre toto mám rád matematiku, že väčšina dôkazov je zrozumiteľná,ale vyžaduje nápad.
inak napadlo ma,že som riadny drúk toto by chcelo tému najväčšie hlúposti veď tá guľa je mimo obraz a ja zapílim,že sa zobrazí do seba

↑ Olin: nefiguruje taková izometrie v důkazu banachova-tarského paradoxu?

↑ Rumburak:
Myslím, že by to mělo jít takto:

Vezměme nějakou maximální -síť a libovolnou -síť . Z maximality je jasné, že , což znamená, že systém je pokrytí (otevřenými) koulemi o poloměru . Z trojúhelníkové nerovnosti se snadno nahlédne, že pro , platí , odkud plyne , neboli každá -síť má nejvýše prvků.

Skrytý text:

Sporem, vezmeme pro každé -síť velikosti (ve které máme dokonce očíslované prvky), vybereme konvergentní podposloupnost prvních prvků, druhých prvků, … (diagonální metoda výběru). Výsledná nekonečná množina je "skoro" -sítí až na to, že v podmínce dostaneme neostrou nerovnost, což nám ale moc nevadí (je to nekonečná -síť).

↑ Stýv:
Jo, to máš pravdu.