Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 03. 02. 2012 19:21

Neony
Zelenáč
Příspěvky: 19
Reputace:   
 

Aplikace určitého integrálu - objem tělesa

Dobrý den, chtěl bych se zeptat, jak na postup v tomto zadání? Mělo by to vyjít (3/2)*pi

Zadání:
Vypočítejte objem tělesa, které vznikne rotací plochy mezi křivkami y = x^2 +1, y = 0, x = 1
a x = 0 kolem osy y.

Zde moje úvaha:$V=\pi \int_{0}^{1} (y-1)*dy=[\frac{y^{2}}{2}-y]^{1}_{0} =\frac{1}{2}\pi $

Předem děkuji za odpověď

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Neony)

#2 03. 02. 2012 21:17 — Editoval Rumburak (07. 02. 2012 10:09)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Aplikace určitého integrálu - objem tělesa

↑ Neony:

Úvaha správná, Jsou tam ale drobné chyby.  Pro x=1 vyjde y = 2,  takže

$V=\pi \int_{0}^{2} x^2(y)\,\mathrm{d}y=\pi \int_{0}^{2} (y-1)\,\mathrm{d}y=\pi \left[\frac{y^{2}}{2}-y\right]^{2}_{0} =\frac{3}{2}\pi $ .

EDIT. Tento příspěvek beru zpět, viz ↑ Rumburak:

Offline

 

#3 04. 02. 2012 10:25

Neony
Zelenáč
Příspěvky: 19
Reputace:   
 

Re: Aplikace určitého integrálu - objem tělesa

Rumburak napsal(a):

↑ Neony:
Úvaha správná, Jsou tam ale drobné chyby.  Pro x=1 vyjde y = 2,  takže

Super, velice děkuji.. Učím se to samostudiem, takže jsem si nebyl zcela jist, ještě jednou děkuji

Offline

 

#4 04. 02. 2012 10:58 — Editoval Honzc (04. 02. 2012 10:59)

Honzc
Příspěvky: 4337
Reputace:   234 
 

Re: Aplikace určitého integrálu - objem tělesa

↑ Neony:
Jenom pro doplnění.
Existuje vzorec pro výpočet objemu rotačního tělesa vznikléhé rotací křivky kolem osy y.
$V=2\pi \int_{a}^{b}xydx$
Tedy
$V=2\pi \int_{0}^{1}x(x^{2}+1)dx=2\pi[\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{2}}{2}]^{1}_{0}=2\pi\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\pi $

Offline

 

#5 06. 02. 2012 10:00 — Editoval Rumburak (06. 02. 2012 10:30)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Aplikace určitého integrálu - objem tělesa

↑ Neony:
Ahoj, s časovým odstupem teď vidím a musím sebekriticky a  s omluvou přiznat, že můj postup v ↑ Rumburak: byl bohužel chybný .
Základem našeho tělesa je rotační válec výšky 2, jehož dolní podstavou je kruh $x^2 + y^2 \le 1$.  Shora je toto těleso ohraničeno 
čásí plochy vzniklé rotací paraboly $y =x^2 + 1$ okolo osy y.  Ze základního válce je tak shora vyříznuta úseč rotačního paraboloidu,
jejíž objem musíme odečíst od objemu $\pi r^2 v = 2\pi$ základního válce. Objem tělesa, které nás zajímá, proto bude

$V=2\pi  - \pi \int_{1}^{2} x^2(y)\,\mathrm{d}y=2\pi - \pi\int_{1}^{2} (y-1)\,\mathrm{d}y=2\pi - \pi \left[\frac{y^{2}}{2}-y\right]^{2}_{1}=2\pi - \frac{1}{2}\pi =\frac{3}{2}\pi$.

Výpočet by šlo provést též jinými metodami, například pomocí dvojného či trojného integrálu , nebo podle vzorce, který doporučil kolega Honzc.

Administrátory pak prosím o odebrání bodu nezaslouženě mi uděleného za předchozí chybný příspěvek.

Offline

 

#6 06. 02. 2012 20:39

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Aplikace určitého integrálu - objem tělesa

↑ Rumburak:

Kolegovi Neony jsem poslala upozorňující mail ohledně opravy a, kdyby nám nezamrznul  inkoust, tak bych Tebe připsala na nástěnku.

To z mého pohledu je dostačuji (těžce udřené Admiratorstvo bych už nerušila). Zdravím :-)



-------------------------------- že naše Johanna píše krásně a přesně:
"...Tak toužebně vzdychám po únoru, jenž mne konečně spasí a navrátí milému druhu a příteli, psacímu stolu! Co jsem mohla zde napsati, kdyby nebylo těch neustálých dopisů do pisárny bývalo! Věř mi, že hodně dlouhou novelu. Musela jsem si se věru sama sobě několikrát pousmáti, že zdraví svého šetřím nedopřejíc si příjemné práce, a nepříjemné že každý den alespoň dvě hodiny hlavu, oči a rozmar obětuji."

Offline

 

#7 07. 02. 2012 10:20 — Editoval Rumburak (07. 02. 2012 10:25)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Aplikace určitého integrálu - objem tělesa

↑ jelena:
Zdravím a děkuji. Inkoust mezitím rozmrzl , tak jsem se na tu nástěnku připsal sám . :-)

Offline

 

#8 07. 02. 2012 10:35

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Aplikace určitého integrálu - objem tělesa

↑ Rumburak:

no výborně, alespoň máme co číst v novinkách :-)

Ano, z "Literárního soukromí" z období, kdy byla nucena se aktivně a veřejně angažovat za údajné osvobození žen. Ještě zjisti, prosím, z díla kterého ruského autora je únor a inkoust (je přeloženo do češtiny, tedy nebude problém) a budeme považovat téma za zcela vyřešené.

Zdravím :-)

Offline

 

#9 07. 02. 2012 11:35

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Aplikace určitého integrálu - objem tělesa

↑ jelena:
Bude to problém :-), protože významných ruských spisovatelů a jejich děl bylo mnoho, zatímco já jsem četl jen něco málo
(od L.N.Tolstého, Puškina, Jefremova, Solženicyna, Pasternaka, Katejeva a Gajdara).

Offline

 

#10 07. 02. 2012 11:37

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Aplikace určitého integrálu - objem tělesa

↑ Rumburak:

tak z toho mala (což je celkem pěkný seznam) určitě už vybereš - je tam :-)

Offline

 

#11 11. 02. 2012 12:37 — Editoval Neony (11. 02. 2012 12:37)

Neony
Zelenáč
Příspěvky: 19
Reputace:   
 

Re: Aplikace určitého integrálu - objem tělesa

↑ Rumburak:
Pěkný den, chybovat je lidské a :) s tím se musí počítat (já už si toho též nevšiml - nepřepočítával jsem to)... Jinak děkuji velice za opravu a tak si plusový bod určitě zasloužíte!!

Offline

 

#12 13. 02. 2012 09:34

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Aplikace určitého integrálu - objem tělesa

↑ Neony:

Děkuji za laskavost a srdečně zdravím . :-)

Offline

 

#13 14. 02. 2012 13:30

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Aplikace určitého integrálu - objem tělesa

↑ Neony:

Také děkuji.

↑ Rumburak:

pro pořádek: Je to Pasternak - "Únor" (nepříliš správná báseň na můj pohled, neb se těší na duben, ovšem "Zimní noc" je správná báseň, neb všude byla vánice - v únoru). Obě jsou do češtiny přeloženy, originály zde například. Hezké čtení přeji a zdravím.

Offline

 

#14 14. 02. 2012 13:49

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Aplikace určitého integrálu - objem tělesa

↑ jelena:
Díky za informaci.  Během svého dvoutýdenního pobytu v Moskvě (už je to řada let) jsem vyhledal Pasternakův hrob v nedalekém Peredelkinu.
Avšak četl jsem od něho pouze slavného Dr. Živága - ke čtení poesie se odhodlávám pouze výjimečně - asi nemám pro ni ty správné buňky.
Zdravím též :-) .

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson