Matematické Fórum

niko9 · 30. 05. 2012 08:20

Pro které hodnoty parametru a má rovnice
$x^{2}+x+a=0$
(s neznámou x) dva různé záporné kořeny?

můj postup:
$A=1,B=1,C=a$
$D=1-4a$ aby měla rovnice dva kořeny pro D platí $D>0 \Rightarrow a<\frac{1}{4}$

$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{1-4a}}{2}$ $x_{2}=\frac{-1-\sqrt{1-4a}}{2}$
$\frac{-1+\sqrt{1-4a}}{2}<0$ $\frac{-1-\sqrt{1-4a}}{2}<0$

dál nevím jak zlomek upravt abych se někam dostal

výsledek má být: $a\in (0,\frac{1}{4})$

Tychi · 30. 05. 2012 08:32

Zlomek s kladným jmenovatelem je záporný, když je záporný čitatel.
Musíš vyřešit tedy nerovnici
$-1+\sqrt{1-4a}<0$
i tu druhou..

niko9 · 30. 05. 2012 08:43 — Editoval niko9 (30. 05. 2012 09:11)

↑ Tychi:
to jsem zkoušel, ale asi dělám někde chybu...

pro x1:
$-1+\sqrt{1-4a}<0$ $/()^{2}$
$1+1-4a<0$
$-4a<-2$
$a>\frac{1}{2}$

pro x2:
$-1-\sqrt{1-4a}<0$ $/()^{2}$
$1-1-4a<0$
$-4a<0$
$a>0$

Tychi · 30. 05. 2012 09:19

Ano to děláš, špatně umocňuješ nerovnici na druhou
Máš tam dvojčlen (číslo a odmocnina) a ty umocňuješ každý člen zvlášť, to přece takto nejde.

Jestli se nepletu, tak bys měl odmocninu nechat na jedné straně a to bez odmocniny na druhé a pak umocnit nerovnici.
$\sqrt{1-4a}<1$

niko9 · 30. 05. 2012 10:06 — Editoval niko9 (30. 05. 2012 10:11)

↑ Tychi:
když tedy umocním
$\sqrt{1-4a}<1$
výjde
$1-4a<1$
$a>0$
správně ?

a pro $-\sqrt{1-4a}<1$ bude vlastně platit $a\in R$ protože menší než 1 je levá strana vždy protože pod odmocnicou nemůže být záporné číslo a před ní je znaménko

Z té první nerovnice tedy vím, že $a>0$ a z diskriminantu vím, že když chci, aby měla rovnice dva realne kořeny musí platit $D>0 \Rightarrow a<\frac{1}{4}$ viz první příspěvek

což by mi tedy dalo správný výsldek $a\in (0,\frac{1}{4})$ chápu to správně ? děkuji za pomoc

zdenek1 · 30. 05. 2012 11:02

↑ niko9:
když jsou oba kořeny záporné, je
$x_1\cdot x_2>0$
podle Vietovy věty je
$x_1\cdot x_2=a$
takže
$a>0$
další podmínka
$D>0$ - tu už máš - $D>0 \Rightarrow a<\frac{1}{4}$
a je to.

Matematické Fórum

#1 30. 05. 2012 08:20

kvadratická rovnice s parametrem

#2 30. 05. 2012 08:32

Re: kvadratická rovnice s parametrem

#3 30. 05. 2012 08:43 — Editoval niko9 (30. 05. 2012 09:11)

Re: kvadratická rovnice s parametrem

#4 30. 05. 2012 09:19

Re: kvadratická rovnice s parametrem

#5 30. 05. 2012 10:06 — Editoval niko9 (30. 05. 2012 10:11)

Re: kvadratická rovnice s parametrem

#6 30. 05. 2012 11:02

Re: kvadratická rovnice s parametrem

Zápatí