Matematické Fórum

Mr.Pinker · 11. 06. 2012 22:43

R $\approx$ P(w) nedokázal by mi někdo nastínit ten důkaz nikde sem ho nemohl najít.

OiBobik · 11. 06. 2012 23:04

↑ Mr.Pinker:

To jsem zvědav, co tato sada znaků znamená. :)

Já bych doufal, že je to $\mathbb{R}\approx P(\omega)$ , kde $\omega$ je množina přirozených čísel a $\approx$ znamená "mít stejnou kardinalitu".
Je to tak?

Mr.Pinker · 11. 06. 2012 23:09

jo jasně omlouvám se za nepečlivost

OiBobik

↑ Mr.Pinker:

Supr.

Zkráceně: Jde o dvojkové rozvoje reálných čísel a charakteristické funkce podmnožin $\omega$ .

Ukážeme, že $[0,2]\approx P(\omega)$ . To stačí, jelikož $[0,2]\approx (0,2)\approx \mathbb{R}$ (bijekce $f:(0,2)\rightarrow \mathbb{R}$ je třeba $\text{cotg} (\frac{\pi x}{2})$ )

Podle Cantor-Bernsteinovy věty stačí nalézt prosté zobrazení z $[0,2]$ do $P(\omega)$ a naopak.

Budeme potřebovat:
Každé číslo z intervalu $[0,2]$ má dvojkový rozvoj, tj lze zapsat ve tvaru $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_k}{2^k}, \forall k: a_k \in \{0,1\}$ . Tento royvoj je jednoznačný až na případy, kdy je $a_n$ od jistého indexu konstantní (tj. jedna musí mít od jistého indexu samé jedničky a druhá samé nuly).

(1) $\varphi: P(\omega)\rightarrow [0,2]$ prosté:
Buď $a \subseteq \omega$ . Uvažme $f_a$ charakteristickou funkci $a$ v $\mathbb{R}$ , tj
$f_a(x)=\begin{cases} 1, x \in a \\ 0, x \not\in a \end{cases}$
Uvažme
Položme $F_a(n):=f_a(\frac{n}{2})$
Definujeme $\varphi(a):=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{F_a(n)}{2^n}$

Pak $\varphi$ je prosté: kdykoli $a,b \subseteq \omega$ takové, že $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{F_a(n)}{2^n}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{F_b(n)}{2^n}$ , pak
(A) je $\forall n \in \omega: F_a(n)=F_b(n)$ ... pak zřejmě $a=b$
(B) $\exists n \in \omega: F_a(n)\neq F_b(n)$ ... pak ale jedna z posloupností $\{F_a(n)\}_{n\in\omega},\{F_b(n)\}_{n\in\omega}$ musí mít od jistého indexu samé jedničky, což je spor (pro každé liché $k$ je $F_a(k)=0$ )

Tedy $\varphi$ je prosté.

(2) $\psi: [0,2]\rightarrow P(\omega)$ prosté
Buď $x \in [0,2]$ a $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_k}{2^k}$ jeho dvojkový rozvoj takový, že nemá žádným indexem počínaje dál jen samé jedničky (ten je tedy jednoznačně určený). Položme
$\psi(x):=\{n \in \omega | a_n=1\}$
Pak $\psi$ je zřejmě prosté.