Matematické Fórum

Skrytý text:

Dokážu, že IJ = ST
Dokážu, že délka úseku IJ (resp. ST) nezávisí na tom, zda se o jedná o řez úhlopříčkou AC nebo BD. Zvolme si búno úhlopříčku AC a na ní příslušné body dotyku I, J. IJ = x + u - t - z = (x - z) + (u - t) = ((x+y) - (z+y)) + ((u+v) - (t+v)) = (AD - CD) + (BC - AB), což je výraz závislý pouze na stranách čtyřúhelníku ABCD, nikoliv na konkrétní úhlopříčce. Proto ST = IJ.

Skrytý text:

Dokážu, že GH = QR.
Všimnu si, že osy úhlů mi protínají kružnici opsanou v tzv. Švrčkových bodech. Jejich charakteristické vlastnosti jsou ty, že leží vždy ve středu příslušného oblouku a dále že jejich vzdálenost od středu kružnice vepsané je stejná jako od krajního bodu oblouku (např. BŠ2 = HŠ2). Tyto vlastnosti nyní použiju a dokážu, že čtyřúhelníky Š2GŠ4H a M2RM4Q jsou shodné. Obecný čtyřúhelník má 5 stupňů volnosti. Musím tedy dokázat 5 shodností:
1) úsečka HŠ2 = BŠ2 = LM2 = RM2
2) úsečka Š4G = Š4D = M4N = M4Q
3) úsečka M2M4 = Š2Š4
4) úhel Š2Š4C = M2M4Q (stejná kružnice a stejně velké oblouky Š2C = M2L) => trojúhelníky M2M4Q a Š2Š4H jsou shodné (sus) => M2Q = Š2G
5) úhel Š4Š2H = M4M2R (stejná kružnice a stejně velké oblouky Š4A a M4N) => trojúhelníky Š2Š4H a M2M4Q jsou shodné (sus) => Š4H = M4R
Víme tedy, že čtyřúhelníky Š2GŠ4H a M2RM4Q jsou shodné, odtud i jejich příslušné úhlopříčky GH a QR jsou shodné.

Skrytý text:

Dokážeme, že HI + GJ = SQ + RT
Posuňme bod G o vektor JI. Obdobně posuňme R o vektor TS. Platí IJ = EG a ST = FR. Je vidět, že trojúhelníky EGH a FRQ jsou pravoúhlé. Navíc víme, že EG = IJ = ST = FR a GH = QR, tj. trojúhelníky jsou dokonce shodné. Odtud EH = FQ. Protože ale EH je vlastně HI + GJ, zatímco FQ = SQ + RT, tak jsme konečně hotovi. Jinak indukcí lze důkaz docela lehce rozšířit na obecné tětivové n-úhelníky.