Matematické Fórum

Pavel Brožek

Planeta má hmotnost M a moment hybnosti L, hustotu má všude stejnou $\varrho$ . Jaký je její ideální tvar?

check_drummer · 30. 09. 2012 18:29

↑ Pavel Brožek:
Ahoj, co znamená ideální tvar? Minimalizující nějakou veličinu (jakou)? Díky za info.

Pavel Brožek

↑ check_drummer:

Myslel jsem tím minimalizující energii, což by mělo být asi to samé, jako kdybychom uvažovali, že to bude planeta složená z tekutiny a zajímali bychom se o tvar po ustálení.

check_drummer · 30. 09. 2012 19:38

↑ Pavel Brožek:
Jen se zeptám - využíváš k řešení variačního počtu?

Pavel Brožek · 30. 09. 2012 19:44

↑ check_drummer:

Popravdě, já řešení vzdal, je to asi moc komplikované :-)

check_drummer · 30. 09. 2012 20:24

↑ Pavel Brožek:
Také v tuto chvíli nevím jak na to, fyzika není můj šálek kávy. (Tak se pokusme nějakou diskusí dojít alespoň ke konstrukci vyjádření té energie pro libovolný tvar planety, třeba jako nějaký integrál.)

Možná se díky výše uvedenému zeptám dost naivně: Moment hybnosti závisí, stručně řečeno, na vzdálenosti od osy rotace a na rychlosti rotace. Energií máš na mysli kinetickou energii (závisející na rychlosti otáčení a hmotnosti daného hmotného bodu)?

Jinak ze zadání dle mého plyne, že planeta má konstantní (pevně daný) objem a tedy díky symetrii lze dle mého uvažovat nějaký libovolný řez vedený osou planety a jeho "obrysovou křivku" f a pro body mezi touto křivkou a osou rotace nějakým integrálním součtem vyjádřit podmínku na konstantní hybnost a jiným integrálním součtem hodnotu energie. Kdyžtak mě zadrž, pokud je to zcestné. Ale pokud není, tak jsi na toto určitě už přišel.

Jen ještě přemýšlím o tom, že u té planety vlastně vůbec neuvažujeme to, že jsou spolu její části nějak silově vázány (např. gravitačně nebo jinak), tak vůbec dle mého není zřejmé a dle mého to tak ani nemusí být, že uvedená funkce f (kontura planety) výše bude spojitá... Nebo spojitost z něčeho plyne?

Pavel Brožek

↑ check_drummer:

Uvažujeme samozřejmě gravitační sílu (klasicky Newtonovskou), která právě ten tvar planety vytvoří. Další síly neuvažujeme. Samozřejmě tam jiné síly jsou (aby se planeta gravitačně nezhroutila), ale ty jsou pro nás pohodlně popsány požadavkem konstantní hustoty v celém objemu planety, takže je dál neuvažujeme. Ve výrazu pro energii je zanedbáme (kdybychom nezanedbali, tak tam bude např. nějaké povrchové napětí, které se bude snažit zmenšit povrch planety).

Zavedeme si cylindrické souřadnice $(r,\varphi,z)$ . Toto zavedení $r$ mi umožní psát hezky integrály pro určení kinetické energie a momentu hybnosti.

Pro gravitační potenciál v místě $\mathbf{x}$ platí

$V(\mathbf{x}) = - \int_{\Omega} \frac{G}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\ \d m(\mathbf{x}')=-G\varrho\int_{\Omega} \frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\ \d^3 x',$

kde $\Omega\subset\mathbb{R}^3$ je planeta. Celková potenciální energie tedy je

$U=\int_\Omega V(\mathbf{x})\,\d m(\mathbf{x})=\int_\Omega V(\mathbf{x})\varrho\, \d^3 x=-G\varrho^2\int_\Omega\int_\Omega\frac1{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\, \d^3x'\, \d^3 x.$

Celková kinetická energie:

$T=\int_\Omega \frac12 (\omega r)^2\,\d m(\mathbf{x})=\frac12\varrho\omega^2\int_\Omega r^2\,\d^3 x.$

Celková energie:

$(1)\qquad E=U+T=-G\varrho^2\int_\Omega\int_\Omega\frac1{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\, \d^3x'\, \d^3 x+\frac12\varrho\omega^2\int_\Omega r^2\,\d^3 x.$

Celkový moment hybnosti:

$(2)\qquad L=\int_\Omega r\cdot\omega r\,\d m(\mathbf{x})=\omega\varrho\int_\Omega r^2\,\d^3x$

Celková hmotnost:

$(3)\qquad M=\int_\Omega \,\d m(\mathbf{x})=\varrho\int_\Omega \,\d^3x$

Volnost je tedy v $\Omega$ a $\omega$ ( $\omega$ můžeme případně vyloučit dosazením z (2) do (1)). Musíme tedy najít tvar planety $\Omega$ a úhlovou rychlost $\omega$ takové, že je minimalizována energie (1) při splnění rovností (2) a (3).

Teď už je to jen matematický problém. Předpokládal bych, že tvar bude „hezký“, tj. žádné nespojitosti a podobně.

check_drummer

↑ Pavel Brožek:
Ahoj, nebylo by možné dosadit (2) do (1) za T získat tak člen $\frac{\omega.L}{2}$ ? (Edit: Teď jsem si všiml, že to máš asi také na mysli v textu výše.)

Nebylo by možné na základě úvah o symetrii uvažovat tvar $\Omega$ že je rotačně symetrický a na základě úvah o minimu energie i to, že je bez děr, že řez rovinou procházející osou rotace opravdu tvoří nějakou "hranici" (povrch planety) nezávislou na úhlu řezu? A i kdyby to nebylo zřejmé, nebylo by vhodnější pro začátek předpokládat, že toto lze?

Víš jaký má být výsledek? Odkud úloha pochází?

Pavel Brožek

↑ check_drummer:

Měl jsem na mysli dosadit z (2) do (1) za $\omega$ . Tím bychom se zbavili volného parametru $\omega$ . Pokud dosadíme z (2) do (1) jak píšeš ty, stále musíme splnit rovnici (2), nemůžeme ji po takovém dosazení považovat za splněnou a dál ji neuvažovat. Ale možná je to tvar, s kterým se pak bude lépe pracovat.

Ano, považoval bych tvar za rotačně symetrický, bez děr a popisoval bych ho rovnicí povrchu $r=f(z)$ s neznámou funkcí f, kterou budeme hledat.

Nevím, jaký má být výsledek a ani jestli je reálné se k něčemu rozumnému dobrat. Na netu jsem viděl nějaká řešení pro mírně eliptický tvar (gravitační síla se pak bere přibližně jako centrální), kde se snad odvodí vztah mezi excentricitou a úhlovou rychlostí.

Úloha (lépe řečeno inspirace) pochází z tohoto tématu :-)

check_drummer · 02. 10. 2012 17:02

↑ Pavel Brožek:
Ahoj,
předložím svůj názor, jistě mi budeš oponovat:
Minimalizujeme tedy součet U+T. Jak jsme psal výše, T přejde na $\frac{\omega.L}{2}$ .
U je tvaru $U=-G\varrho^2\int_\Omega\int_\Omega\frac1{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\, \d^3x'\, \d^3 x$ .
Dle mého U nezávisí na $\omega$ , takže když zvolím $\omega = 0$ , pak bude T nejmenší možné (0) a na U to vliv nemá.
U nezávisí na ničem jiném než na vzájemné poloze (resp. vzdálenosti) bodů planety a dle mého by mělo být možné ukázat, že uvedený integrál - a sice $\int_\Omega\int_\Omega\frac1{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\, \d^3x'\, \d^3 x$ je minimální pro kouli.

Takže mi z toho vychází, že planeta je koule, která nerotuje... Na druhou stranu, pak by vyšla celková energie záporná, což nevím zda může nastat...

Pavel Brožek

↑ check_drummer:

Ahoj, s tím, že celková energie je záporná problém není – to souvisí s tím, jak volíme nulovou hladinu potenciální energie. Pro dvě tělesa ji volíme tak, že pokud jsou tělesa „nekonečně vzdálená“, pak je nulová, takže když se k sobě budou přibližovat, musí potenciální energie klesat do záporných hodnot, aby síla byla přitažlivá (síla je úměrná záporně vzaté derivaci potenciální energie). Takové volbě odpovídají intergrály, které jsem napsal.

Pokud zvolíš $\omega = 0$ tak nebude splněna rovnice (2), takže je to špatná volba. To je přesně to, o čem jsem psal v minulém příspěvku. Tím, že dosadíš z (2) do (1) tím tvým způsobem, nezaručuje, že už můžeme (2) zahodit.

Názornější příklad Zobrazit/skrýt!

check_drummer · 02. 10. 2012 19:36

↑ Pavel Brožek:
To je pravda a dává to i smysl: Hodnoty U a L jdou opravdu proti sobě: Chceme-li, aby v U+T $\omega$ byla co nejmenší (to je to moje dosazení, kdy T závisí jen na $\omega$ ), pak díky (2) by měly být body planety co nejdále od osy rotace. Na druhou stranu tímto by pak U mělo příliš (v absolutní hodnotě) malou zápornou hodnotu, protože by se příliš odchylovalo od "gravitačně ideální" koule. Tedy tvar bude opravdu nejspíš nějaký "rozumný" mezi koulí a plochým diskem (nebo (dutým) válcem?) kolmým k ose rotace.

Zkusím se zamyslet nad tím nahrazením $\Omega$ pomocí kontury f a tím (jednoduše řečeno) zkusit převést $\int_\Omega ... \d^3 x$ na $\int F(f) \d x$ ...

Pavel Brožek

↑ check_drummer:

Možná bych pro jednoduchost zkusil začít tím, že budeme předpokládat tvar elipsoidu $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}<1$ . Potom snadno dostaneme

$T=\frac{4}{15}\pi a^4b\varrho\omega^2\nl L=\frac8{15}\pi a^4b\varrho\omega\nl M=\frac43\pi a^2b\varrho$

Po vyloučení $\omega$ dostáváme funkci

$E(a,b)=-G\varrho^2\int_\Omega\int_\Omega\frac1{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\, \d^3x'\, \d^3 x+\frac{15L^2}{16\pi a^4b\varrho},$

kterou minimalizujeme na množině $g(a,b)=0$ pro

$g(a,b)=M-\frac43\pi a^2b\varrho$

Teď už zbývá jen spočítat ten integrál v $\mathbb{R}^6$ :-)

check_drummer · 02. 10. 2012 20:43

↑ Pavel Brožek:
Jestli to tedy dobře chápu, úkolem je najít a,b? Z čeho plyne podmínka g(a,b)=0?

Pavel Brožek

↑ check_drummer:

Ano, úkolem je najít a a b, tedy délku poloos elipsoidu. Tím už bude tvar elipsoidu jeznoznačně určen.

Ta podmínka $g(a,b)=0$ plyne z toho, že hmotnost M je zadaná (minimalizujeme energii při daném M a L). Když si hmotnost vyjádříme pomocí a,b, dostaneme

$M=\frac43\pi a^2b\varrho$ .

Edit: Teď jsem si všimnul, že mi v předchozím příspěvku ve vyjádření funkce $g(a,b)$ vypadlo $\varrho$ , proto ses ptal? Opravil jsem to.

check_drummer

↑ Pavel Brožek:
Bylo mi divné, odkud se ten výraz vzal, když se jinde nevyskytoval. :-)
A vidím, že L jsi již do minimalizované funkce dosadil - jinými slovy podmínku na konstantnost L nemusíme řešit, protože tu zajistíme nakonec vhodnou volbou $\omega$ , že?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Edit: Teď vidím, že to nemá smysl, protože tak bychom pro všechny tvary elipsoidu získali stejnou hodnotu toho integrálu...

Pavel Brožek

Narazil jsem na tento článek: On the gravitational energy of ellipsoidal bodies and some related functions.

Pokud jsem tam tomu dobře porozuměl a vše správně upravil, tak by výsledek měl být (po dosazení za b)

$E(a)=-\frac35M^2G\frac{\arccos$\frac{3M}{4\pi\varrho a^3}$}{\sqrt{a^2-\frac{9M^2}{16\pi^2\varrho^2a^4}}}+\frac{5L^2}{4a^2M}$

Vzal jsem hodnoty pro Zemi (z wikipedie, moment hybnosti jsem nenašel, tak jsem ho dopočítal jako pro homogenní kouli) a dostal jsem

$a=6380,1\,\text{km}\nl b=6352,6\,\text{km},$

což zhruba odpovídá hodnotám uváděným na wikipedii

$a=6378,1\,\text{km}\nl b=6356,8\,\text{km}.$

Tipuji, že rozdíl bude způsobený hlavně tím, že jsem považoval hustotu za konstantní.

Pavel Brožek · 02. 10. 2012 23:30

↑ check_drummer:

L považujeme za konstantní a dané, takže jakmile určíme a a b, tak $\omega$ dopočítáme z

$L=\frac8{15}\pi a^4b\varrho\omega.$

Není to tak, že bychom si $\omega$ mohli zvolit. To dostaneme jako výsledek minimalizace energie.

pietro · 04. 10. 2012 09:51 — Editoval pietro (04. 10. 2012 10:02)

Zdravím Vás vzácni páni !

↑ Pavel Brožek:↑ check_drummer:

zaujali ma Vaše postupy a ďakujem za poskytnuté riešenia.

Nemôžem si pomôcť , ale aj tu http://cs.wikipedia.org/wiki/Zplo%C5%A1t%C4%9Bn%C3%AD

sa vyskytuje pojem elasticita v blízkej súvislosti s našim problémom.

Celkom zaujímavá je gravimetrická mapa ČR

check_drummer · 05. 10. 2012 13:19

↑ Pavel Brožek:
Ahoj, špatně jsem se vyjádřil, měl jsem na mysli to, že $\omega$ je potom již jednoznačně dána.

Matematické Fórum

#1 29. 09. 2012 10:39 — Editoval Pavel Brožek (29. 09. 2012 10:50)

Tvar planety

#2 30. 09. 2012 18:29

Re: Tvar planety

#3 30. 09. 2012 18:31 — Editoval Pavel Brožek (02. 10. 2012 20:27)

Re: Tvar planety

#4 30. 09. 2012 19:38

Re: Tvar planety

#5 30. 09. 2012 19:44

Re: Tvar planety

#6 30. 09. 2012 20:24

Re: Tvar planety

#7 30. 09. 2012 22:18 — Editoval Pavel Brožek (30. 09. 2012 22:20)

Re: Tvar planety

#8 01. 10. 2012 00:14 — Editoval check_drummer (01. 10. 2012 00:16)

Re: Tvar planety

#9 01. 10. 2012 00:25 — Editoval Pavel Brožek (01. 10. 2012 00:29)

Re: Tvar planety

#10 02. 10. 2012 17:02

Re: Tvar planety

#11 02. 10. 2012 19:14 — Editoval Pavel Brožek (02. 10. 2012 19:16)

Re: Tvar planety

#12 02. 10. 2012 19:36

Re: Tvar planety

#13 02. 10. 2012 19:59 — Editoval Pavel Brožek (02. 10. 2012 21:05)

Re: Tvar planety

#14 02. 10. 2012 20:43

Re: Tvar planety

#15 02. 10. 2012 21:04 — Editoval Pavel Brožek (02. 10. 2012 21:06)

Re: Tvar planety

#16 02. 10. 2012 21:58 — Editoval check_drummer (02. 10. 2012 22:03)

Re: Tvar planety

#17 02. 10. 2012 23:15 — Editoval Pavel Brožek (02. 10. 2012 23:15)

Re: Tvar planety

#18 02. 10. 2012 23:30

Re: Tvar planety

#19 04. 10. 2012 09:51 — Editoval pietro (04. 10. 2012 10:02)

Re: Tvar planety

#20 05. 10. 2012 13:19

Re: Tvar planety

Zápatí