Matematické Fórum

serillan · 05. 11. 2012 21:37

Zdravím,
potrebujem vypočítať vnútorne uhly lichobežníka pokiaľ poznám všetky jeho strany. Ako by som to mohol vyriešiť?
Rozmýšľal som nad tým ale nejak nemôžem prísť na riešenie.
Tu sú strany zo zadania: $|AB|=73,6; |BC|=57; |CD|=60; |DA|=58,6; AB//CD$

BakyX · 05. 11. 2012 21:53

S týmito stranami je to ľahké, pretože ide o pravouhlý lichobežník.

BakyX · 05. 11. 2012 22:27 — Editoval BakyX (06. 11. 2012 14:15)

↑ serillan:

Ak mám byť úprimný, tak som si tie vzdialenosti zmenšil desaťkrát a nakreslil v programe GeoGebra.

Všeobecne sa to dá vyriešiť, ale nie je to bohvieako elegantné. Naznačím postup:

Z bodov $C,D$ veďme kolmice na priamku $AB$ a ich päty označme $X,Y$ . Označme $|AX|=x$ , $|BY|=y$ .

Nech $v$ je výška a strany sú klasicky $a,b,c,d$ . Z Pytagorových viet máme:

$x^2+v^2=d^2$ (1)
$y^2+v^2=b^2$ (2)

Tretí vzťah medzi $x,y$ a ostatnými veličinami bude

$c+e_1x+e_2y=a$ (3), kde $e_1,e_2 \in \{-1,1\}$ . Skrátka môžu nastať na základe polohy bodov $C,D$ vzhľadom k $AB$ 3 možné vyjadrenie $a$ pomocou $c,x,y$ a to:

$c+x+y=a$
$c-x+y=a$
$c-x+y=a$

My ich všetky zhrnieme pomocou (3) a ako sa nakoniec ukáže, na výslednom vzorci sa to neprejaví (pretože $e_1^2=e_2^2=1$ .

Odčítaním (1)-(2) dostaneme $x^2-y^2=d^2-b^2$ . Z (3) vyjadríme $y$ , dosadíme do tejto rovnice a vyjadríme $x$ . Následne vypočítame $v$ . Dostaneme:

$v=\frac{\sqrt{-(a-c+b-d)(a-c-b+d)(a-c+b+d)(a-c-b-d)}}{2(a-c)}$

Ak označíme $\alpha, \beta$ uhly pri vrcholoch $A,B$ , tak platí:

$\sin \alpha = \frac{v}{d}$
$\sin \beta = \frac{v}{b}$

Snáď som neurobil nejakú chybu z nepozornosti.

Matematické Fórum

#1 05. 11. 2012 21:37

Výpočet vnútornych uhlov lichobežníka

#2 05. 11. 2012 21:53

Re: Výpočet vnútornych uhlov lichobežníka

#3 05. 11. 2012 22:27 — Editoval BakyX (06. 11. 2012 14:15)

Re: Výpočet vnútornych uhlov lichobežníka

Zápatí