Matematické Fórum

Jeronym · 29. 12. 2012 08:25

Zdravím,
mám pro funkci $f(x)=e^{\frac{4x}{5}}$ určit inverzní funkci $g(x)=f^{-1}(x)$ .

Vyšlo mi pár výsledků (měl by vyjít jeden výsledek, proto sem nebudu dávat co mi všechno vyšlo, abych se za sebe nemusel stydět).

Zkouším dělat graf a pořád mi to nevychází.

Nemohl by mi někdo napsat výsledek se 100% jistotou? (Asi bych byl rád i za postup)
Děkuji.

Bati · 29. 12. 2012 10:23 — Editoval Bati (29. 12. 2012 12:35)

Ahoj,
protože funkce $e^{\frac45x}$ je prostá na celém $\mathbb{R}$ , bude k ní také existovat inverzní funkce v nějakém intervalu, který je oborem hodnot původní funkce. Stačí z předpisu $y=e^{\frac45x}$ logaritmováním vyjádřit $x$ .

Postup:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Emca21 · 29. 12. 2012 10:52 — Editoval Emca21 (29. 12. 2012 10:54)

↑ Bati:
Asi to tak myslis, ale jen pro upresneni. Vysledek by mel byt $f^{-1}(x): y=\frac{5}{4}lnx$
Mas tam e, takze vysledek musi byt prirozeny logaritmus.
(doufam,ze se nepletu :-))))

Bati · 29. 12. 2012 11:36

↑ Emca21:
Samozřejmě, já jen značil přirozený logaritmus $\log$ , protože jiný stejně nemá smysl používat.

Emca21 · 29. 12. 2012 11:50

↑ Bati:
Ok. A muzu se jen zeptat, proc? Zajima me to, protoze casto to nekde vidim, ze prirozeny logaritmus nekdo oznacuje log, ale pokud vim, tak to je dekadicky logaritmus, ne?

Bati · 29. 12. 2012 12:19

↑ Emca21:
$e^0$ ) $\text{ln}$ se používá snad jen v Česku, všude jinde se přirozený logaritmus značí $\log$ ,
$e^1$ ) Přirozený logaritmus je v matematice zdaleka nejpoužívanější a ostatní se definují pomocí něj, a tak by byla škoda ho značit jakkoliv jinak, než $\log$ .
$e^2$ ) Je to jen věc vkusu.

Emca21 · 29. 12. 2012 12:23

↑ Bati:
Aha. To je zajimave. Diky moc za objasneni :-)

Jeronym

My jsme se na střední učili, že $\ln$ je přirozený a $\log_{}$ je dekadický...
Ale třeba jak teď dělám v tom Matlabu, tak tam je $\log_{}$ jako přirozený, tak už to tak taky beru. :)

Výsledek mi přijde správný a logický...
Ale jde nějak vyzkoušet, zda je pravdivý?
Jestli je funkce inverzní, tak by měli být obě funkce symetrický podle I. a III. kvadrantu, ale jak nejlíp zjistit, že tomu tak je?

Graf jsem udělal, a vypadá to dobře, ale těžko bych asi poznal rozdíl mezi třeba $\ln x$ a $\frac{100}{99}\ln x$ ...

Jinak moc děkuji :)

Bati · 29. 12. 2012 12:32

↑ Jeronym:
Poznáš to třeba tak, že je spolu složíš. Platí totiž zřejmě $f(x)\circ f^{-1}(x)=Id(x)=x$ na příslušných intervalech.

Jeronym · 29. 12. 2012 12:40

↑ Bati:
Jak to přesně myslíš?
Vím, že jsem otravnej, ale v matice jsem nějak pozadu, prvák na vejšce...
Nevím ani, co znamená to kolečko, cos tam dal... :D

Bati · 29. 12. 2012 12:52

↑ Jeronym:
To kolečko je skládání funkcí. Znamená to, že když složíš nějakou funkci s funkcí k ní inverzní, tak dostaneš identitu, tedy funkci $y=x$ . Např. $\sin(\arcsin(x))=x\quad\forall x\in$-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2$$ .

V tvém případě to znamená, že vezmeš $y=e^{\frac45x}$ a dosadíš to ypsilon do inverzní funkce $y=\frac54\log x$ za x.

Jeronym · 29. 12. 2012 13:02

↑ Bati:
Jo, díky, díky, hned jsem chytřejší a mám lepší pocit...

A aby abych dokázal, že se neflákám, tak:

Při x = 0 až 2...
A to x jsem opravdu dopočítal přes
$y=\frac{5}{4}\ln (e^{\frac{4x}{5}})$

Matematické Fórum

#1 29. 12. 2012 08:25

Inverzní funkce

#2 29. 12. 2012 10:23 — Editoval Bati (29. 12. 2012 12:35)

Re: Inverzní funkce

#3 29. 12. 2012 10:52 — Editoval Emca21 (29. 12. 2012 10:54)

Re: Inverzní funkce

#4 29. 12. 2012 11:36

Re: Inverzní funkce

#5 29. 12. 2012 11:50

Re: Inverzní funkce

#6 29. 12. 2012 12:19

Re: Inverzní funkce

#7 29. 12. 2012 12:23

Re: Inverzní funkce

#8 29. 12. 2012 12:29 — Editoval Jeronym (29. 12. 2012 12:30)

Re: Inverzní funkce

#9 29. 12. 2012 12:32

Re: Inverzní funkce

#10 29. 12. 2012 12:40

Re: Inverzní funkce

#11 29. 12. 2012 12:52

Re: Inverzní funkce

#12 29. 12. 2012 13:02

Re: Inverzní funkce

Zápatí