Matematické Fórum

Taufic · 06. 03. 2013 22:29

Zdravím všechny,
předem se omlouvám, že vás takhle otravuji, ale potřeboval bych pomoct s tímto příkladem:
$arccos (x^{2}+y^{2}-1) + \sqrt{|x|+|y|-\sqrt{2}}$
Máme určit definiční obor a zda-li se jedná o množinu otevřenou, uzavřenou a omezenou.
Dostal jsem se k tomu, že: $D(f)= \{(x,y)\in R^{2}, y\le \sqrt{2-x^{2}}\} \cap \{(x,y)\in R^{2}, |y|\ge \sqrt{2}-x\}$

ale zaboha nevím jak určit ten zbytek. Mohl by mi prosím někdo pomoct?

Bati · 06. 03. 2013 23:10 — Editoval Bati (06. 03. 2013 23:23)

Ahoj,
zdá se mi, že jsi nějak zapomněl na absolutní hodnoty. Např. $y\leq\sqrt{2-x^2}$ není ekvivalentní s $y^2\leq2-x^2$ . Ale takové úpravy jsou zde navíc zbytečné.
Určitě jsi se dostal k nerovnosti $x^2+y^2\leq2$ . To je přece kruh se středem v počátku a poloměrem $\sqrt2$ .
Druhá zřejmá nerovnost $|x|+|y|\geq\sqrt2$ je vlastně celá rovina, kromě pootočeného čtverce se středem v počátku, jehož uhlopříčka je stejně dlouhá, jako průměr toho kruhu. Na to se dá přijít, když si to rozmyslíš v každém kvadrantu zvlášť a odstraníš ty absolutní hodnoty.
Co je průnikem těchto množin je pak jasné z obrázku, omezenost je také jasná kvůli první podmínce a uzavřenost taky, protože uvedené množiny jsou vzory uzavřených intervalů $[0,2]$ , resp. $[\sqrt{2},\infty)$ při spojitých zobrazeních $F_1(x,y)=x^2+y^2$ , resp. $F_2(x,y)=|x|+|y|$ . Průnik dvou uzavřených množin je zase uzavřená množina.

Taufic · 07. 03. 2013 08:17

↑ Bati:
Mockrát děkuju. :)

Matematické Fórum

#1 06. 03. 2013 22:29

Určení množiny

#2 06. 03. 2013 23:10 — Editoval Bati (06. 03. 2013 23:23)

Re: Určení množiny

#3 07. 03. 2013 08:17

Re: Určení množiny

Zápatí